Question

Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?

Answer 1

=> Note que a questão "pede" comissões com PELO MENOS 1 diretor  ..ou seja as comissões podem ser formadas por:

..1 diretor + 4 gerentes ..donde resulta: C(3,1) . C(5,4)
..2 diretores + 3 gerentes ..donde resulta: C(3,2) . C(5,3)
..3 diretores + 2 gerentes ..donde resulta: C(3,3) . C(5,2)


=> Esta questão pode ser resolvida de 2 formas:

..ou calculamos todas as possibilidades acima e as somamos donde resulta:

N = [C(3,1) . C(5,4)] + [C(3,2) . C(5,3)] + [C(3,3) . C(5,2)]


..ou recorremos ao conceito de conjunto complementar) ..note que só NÃO INTERESSAM as comissões em que não esteja presente NENHUM diretor,

assim bastaria calcular o total de comissões de 5 pessoas possíveis de formar com as 8 iniciais C(8,5) ...e subtrair as comissões formadas só com gerentes C(5,5) :

N = C(8,5) - C(5,5)

N = [8!/5!(8-5)!] - [5!/5!(5-5)!]

N = [8!/5!3!] - [5!/5!0!]

N = [8.7.6.5!/5!3!] - [5!/5!1]

N = [8.7.6/3!] - [1]

N = [8.7.6/6] - [1]

N = [8.7] - [1]

N = 56 - 1

N = 55 comissões


Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

55

Explicação passo-a-passo:

Total de possibilidades: $C_{8,5}$ = 56.

Possibilidades com 0 diretores = 1.

56 - 1 = 55 (Possibilidades com pelos menos 1 diretor)