Question

Uma empresa que produz alimentos embutidos necessita de latas para armazenar seus produtos que tenham um volume de 500cm3 e que sejam no formato de um cilindro reto circular, sendo produzidas de alumínio. Determine o raio e a altura do cilindro que minimizem o consumo de material. Considere que a lata será fechada nas duas extremidades. Apresente todos os seus cálculos e considerações.

Answer 1

Olá.

 

Temos como foco descobrir um meio de produzir latas com menos alumínio.Para isso, devemos descobrir em quais dimensões a área do alumínio é menor. As dimensões devem ser ponderadas levando em consideração o volume (que tem de ser imutável).

 

Usaremos duas fórmulas, uma para o volume e outra para a área (já ponderando as duas tampas que vão fechar). São elas:

 

$\mathsf{V=r^2\cdot pi\cdot h}\\\\\mathsf{A=2\pi r(r+h)}$

 

Onde:

A = área;

V = volume, que no caso é 500cm³.

r = raio;

π = pi, que adotarei 3,14;

h = altura.

 

Devemos testar a área para valores diferentes de raio, como por exemplo 1, 2 e 3. Primeiro, vamos fazer alterações nas fórmulas, já adicionando valores que temos.

 

No volume.

 

$\mathsf{V=r^2\cdot\pi\cdot h}\\\\ \mathsf{500=r^2\cdot3,14\cdot h}\\\\ \mathsf{\dfrac{500}{3.14}=r^2\cdot h}\\\\ \mathsf{159,23\approx r^2\cdot h}\\\\ \boxed{\mathsf{\dfrac{159,23}{r^2}\approx h}}$  

 

Na área.

 

$\mathsf{A=2\pi r(r+h)}\\\\ \mathsf{A=2(3,14) r(r+h)}\\\\ \boxed{\mathsf{A=6,28r(r+h)}}$

 

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Vamos aos testes.

 

Para r = 1, teremos:

 

$\mathsf{\dfrac{159,23}{r^2}\approx h}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{159,23}{1^2}\approx h}\\\\\mathsf{159,23\approx h}\\\\\\ \mathsf{A=6,28(1)(1+159,23)}\\\\ \mathsf{A=6,28(160,23)}\\\\ \boxed{\mathsf{A=1006,2444}}$  

 

Para r = 2, teremos:

 

$\mathsf{\dfrac{159,23}{r^2}\approx h}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{159,23}{2^2}\approx h}\\\\\mathsf{39,8075\approx h}\\\\\\ \mathsf{A=6,28(2)(2+39,8075)}\\\\ \mathsf{A=12,56(41,8075)}\\\\ \boxed{\mathsf{A=525,1022}}$  

 

Para r = 3, teremos:

 

$\mathsf{\dfrac{159,23}{r^2}\approx h}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{159,23}{3^2}\approx h}\\\\\mathsf{17,69\approx h}\\\\\\ \mathsf{A=6,28(3)(3+17,69)}\\\\ \mathsf{A=18,84(20,69)}\\\\ \boxed{\mathsf{A=389,7996}}$

 

Para r = 4, teremos:

 

$\mathsf{\dfrac{159,23}{r^2}\approx h}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{159,23}{4^2}\approx h}\\\\\mathsf{\dfrac{159,23}{16}\approx h}\\\\\mathsf{9,9518\approx h}\\\\\\\mathsf{A=6,28(4)(4+17,69)}\\\\\mathsf{A=25,12(21,69)}\\\\\mathsf{A=544,8528}$

 

Podemos afirmar que, usando números inteiros, os valores possíveis para o raio são 1, 2 e 3, sendo o 3 a melhor opção (por gastar menos alumínio).

 

Raios com valores de 4 em diante não compensam, devido ao aumento da área.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$