Question

Uma empresa pública sabe que o lucro L obtido pela venda de X unidades de um certo produto é dado pela função L(x) = - x³ + 2x² + 15x . Determine o númerode unidades a serem vendidas para que o lucro seja máximo, bem como o lucro máximo obtido para essa quantidade vendida. (Sugestão: (1) calcule a primeira derivada da função; (2) iguale-a a zero para encontrar os números críticos; (3) calcule a segunda derivada; (4) substitua os números críticos para encontrar o que leva ao máximo e (5) substitua esse número crítico em ( ) para determinar o lucro máximo).

Answer 1

1ª derivada:
L(x) = -3x² + 4x + 15
raízes: -5/3 e 3 (números críticos)
Substituindo (-5/3) na função inicial:
L(x) = - (-5/3)³ + 2. (-5/3)² + 15 (-5/3)
L(x) = - (-125/27) + 2 (25/9) - 75/3
L(x) = 125/27 + 50/9 - 25
L(x) = 4,6296 + 5,5556 - 25
L(x) = - 14,8148 (não serve, pois quantidade não pode ser negativa)

Substituindo (3) na função inicial: 
L(x) = - 3³+ 2.3² + 15.3
L(x) = - 27 + 2.9 + 45
L(x) = -27 + 18 + 45
L(x) = 36 unidades devem ser vendidas para que o lucro seja máximo.