Question

Uma empresa produz cartuchos de tinta para impressoras. Sabe-se que após anos de uso os cartuchos sofrem uma diminuição de sua capacidade conforme dado pela função abaixo:

F(t) = 100 ∙ 2-t

Sabendo que t representa o tempo em anos e F(t) a capacidade em porcentagem, em quanto tempo um cartucho novo atingirá a capacidade de 12,5% da capacidade inicial?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

=> Para t = 0:

$\sf F(t)=100\cdot2^{-t}$

$\sf F(0)=100\cdot2^{-0}$

$\sf F(0)=100\cdot1$

$\sf F(0)=100$

A capacidade inicial é 100

=> Tempo

$\sf F(t)=100\cdot2^{-t}$

• Para F(t) = 12,5% da capacidade inicial:

$\sf 100\cdot2^{-t}=\dfrac{12,5}{100}\cdot100$

$\sf 100\cdot2^{-t}=\dfrac{1250}{100}$

$\sf 100\cdot2^{-t}=12,5$

$\sf 2^{-t}=\dfrac{12,5}{100}$

$\sf 2^{-t}=\dfrac{125}{1000}$

$\sf 2^{-t}=\dfrac{1}{8}$

$\sf 2^{-t}=\dfrac{1}{2^3}$

$\sf 2^{-t}=2^{-3}$

Igualando os expoentes:

$\sf -t=-3~~~\cdot(-1)$

$\sf \red{t=3~anos}$

Answer 2

A capacidade de 12,5% da capacidade inicial será atingida em 3 anos.

Para respondermos essa questão, precisamos respondê-la por partes.

Parte I:

Precisamos saber a capacidade inicial do cartucho.

A capacidade inicial é no tempo de 0 anos, pois é novo. Então, substituímos na função t por 0.

F(t) = 100 * $2^{-t}$

F(0) = 100 * $2^{-0}$

F(t) = 100 * 1

F(t) = 100

Portanto, a capacidade inicial do cartucho é igual a 100.

Parte II:

A questão quer saber em quanto tempo o cartucho novo vai atingir 12,5% da capacidade inicial.

Para descobrirmos isso, vamos igualar a função com 12,5% da capacidade inicial, ou seja:

100 * $2^{-t}$ = 12,5% * 100

100 * $2^{-t}$ = 12,5 / 100 * 100

100 * $2^{-t}$ = 12,5

$2^{-t}$ = 100 / 12,5

$2^{-t}$ = 1 / 8

$2^{-t}$ = 1 / 2³

$2^{-t}$ = $2^{-3}$

- t = - 3 (* - 1)

t = 3

Portanto, em 3 anos o cartucho novo atingirá 12,5% da capacidade inicial.

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