Question

Uma empresa é composta de 12 diretores. Quantas são as maneiras de escolher 5 deles para compor uma comissão com presidente, vice-presidente e 3 super-visores?

Answer 1

Temos 12 espaços esperando ser ocupados por 5 pessoas, então usamos combinação, inicialmente. C12,5:

$C_{12,5} = \frac{12!}{(12-5)!5!} = \frac{12.11.10.9.8.7!}{7!5!} = \frac{12.11.10.9.8}{5.4.3.2} = \frac{12.11.9.8}{4.3} = \\ = 11.9.8 = 792$

Mas agora vamos lembrar que, de todas essas combinações, temos que é diferente cada um dos três cargos, ou seja, para cada possibilidade colocada, temos que as cinco pessoas podem ser organizadas 3 a 3 de formas distintas para ocupar o cargo de supervisor, ou seja:

$C_{5,3} = \frac{5!}{(5-3)!3!} = \frac{5.4.3!}{2!.3!} = \frac{20}{2} = 10$

Por fim, para cada vez que escolhemos, temos a intercalação entre quem é presidente e quem é vice. Então, para cada caso, há duas possibilidades.

Então multiplicamos tudo: 792.10.2 = 15840