Uma empresa desconta em um banco um título com vencimento daqui a 4 meses, recebendo no ato o valor de R$ 19 800,00. Sabe-se que a operação utilizada foi a de desconto comercial simples. Caso tivesse sido aplicada a de desconto racional simples, com a mesma taxa de desconto anterior i (i > 0), o valor que a empresa receberia seria de R$ 20 000,00. O valor nominal deste título é de
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Janjaom, que a resolução parece simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Note que no desconto comercial simples, o valor atual, no caso da sua questão em que o título é descontado 4 meses antes, é dado da seguinte forma:
VA = VN*(1-4*i) ---- ou apenas:
VA =VN*(1-4i) ----- como o valor atual é de R$ 19.800,00, então substituindo-se teremos:
19.800 = VN*(1-4i) ---- ou, invertendo-se, o que é a mesma coisa:
VN*(1-4i) = 19.800 ----- isolando "VN", teremos:
VN = 19.800/(1-4i) . (I)
ii) Por sua vez, no desconto racional simples o valor atual é dado assim, também no caso da sua questão em que o título é descontado 4 meses antes:
VA =VN/(1+4*i) ---- ou apenas:
VA = VN/(1+4i) ----- como neste caso o valor atual é de R$ 20.000,00, então substituindo-se, teremos:
20.000 = VN/(1+4i) . (II)
iii) Mas já vimos que VN, conforme a expressão (I), é dado por:
VN = 19.800/(1-4i). Então vamos substituir o valor de VN por "19.800/(1-4i) na expressão (II) acima. Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:
20.000 = VN/(1+4i) ---- substituindo-se VN por "19.800/(1-4i)", teremos:
20.000 = [19.800/(1-4i)]/(1+4i) ---- ou, o que é a mesma coisa:
20.000 = 19.800/(1-4i)*(1+4i) ---- note que (1-4i)*(1+4i) = 1-16i². Logo, ficaremos com:
20.000 = 19.800/(1-16i²) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
20.000*(1-16i²) = 19.800 ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, temos:
20.000*1 - 20.000*16i² = 19.800 ---- desenvolvendo, teremos:
20.000 -320.000i² = 19.800 ---- passando "20.000" para o 2º membro:
- 320.000i² = 19.800 - 20.000 ---- continuando o desenvolvimento:
-320.000i² = - 200 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", temos:
320.000i² = 200 ----- isolando i² teremos:
i² = 200/320.000 ---- note que esta divisão dá 0,000625. Loogo:
i² = 0,000625 ----- isolando "i" teremos:
i = ± √(0,000625) ------ note que √(0,000625) = 0,025. Logo:
i = ± 0,025 ----- mas como a taxa de juros é positiva, então ficaremos apenas com a raiz positiva e igual a:
i = 0,025 ou 2,5% ao mês.
iv) Como já temos a taxa de juros, então vamos substituir em quaisquer uma das expressões [ou na (I) ou na (II)] e encontraremos qual é o valor nominal do título. Vamos na expressão (I), que é esta:
VN = 19.800/(1-4i) ----- substituindo-se "i" por 2,5% (ou 0,025), teremos:
VN = 19.800/(1-4*0,025) ----- note que 4*0,025 = 0,1. Logo:
VN = 19.800/(1-0,1) ----- como "1-0,1 = 0,9", teremos:
VN = 19.800/0,9 ---- veja que esta divisão dá exatamente "22.000". Logo:
VN = 22.000,00 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor do título da sua questão que, ao ser descontado 4 meses antes no sistema comercial simples deu um valor atual de R$ 19.800,00 e, ao ser descontado no sistema racional simples deu um valor atual de R$ 20.000,00.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.