Question

Uma empresa de doces depende das funções f e g funções reais da variável real definidas por f(x) = $\frac{14}{2^{x}+4}$ e g(x)=2 + 3x - $x^{2}$ para avaliar o custo dos seus produtos.Um engenheiro avaliou que a função composta definida por f(g(x)) seria uma excelente aproximação para estimar os custos. O valor mínimo de f(g(x)) é?

Answer 1

Boa noite

Temos ;

$f(g(x))=f(2+3x- x^{2} )= \dfrac{14}{ 2^{2+3x- x^{2} } +4}$

para a fração ter o menor valor possível é preciso que seu denominador

seja o maior possível.O que ocorre quando usamos o máximo de 

y=-x^2+3x+2 .  Temos então :

$x_{V}=- \frac{b}{a}\Rightarrow x_{V}=- \frac{3}{-2}= \frac{3}{2} \quad\quad e \\ \\ y_{V} =- ( \frac{3}{2} )^{2} +3* \frac{3}{2}+2=- \frac{9}{4}+ \frac{9}{2}+2 = \frac{-9+18+8}{4}= \frac{17}{4}$

substituindo em  f(g(x)) , fica

$f(g(x))= \dfrac{14}{ 2^{ \frac{17}{4} }+4 } = \dfrac{14}{ 2^{ \frac{16}{4} + \frac{1}{4} }+4 } = \dfrac{14}{ 2^{4}* 2^{ \frac{1}{4} }+4 } = \dfrac{14}{ 2^{4}* \sqrt{ \sqrt{2} }+4 } } \\ \\ \\ \dfrac{14}{16* \sqrt{1,4142}+4 } = \dfrac{14}{16*1,1892+4} = \dfrac{14}{19,0273+4} \\ \\ \\ \dfrac{14}{23,0273} =\boxed{0,6079}$

Resposta  :  0,6079