Uma elipse de foco f1 = (0,5) e f2=(0,-5) e que passa pelo ponto a =(0,13) tera equacao
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1
o eixo maior da elipse (direçao em que ele é mais "gordo") é o eixo que contem o F=foco
foco F1 (0,-2) significa que o foco esta na vertical
a eq elipse com o eixo maior na vertical , e centro da elipse na origem das coordenadas, é :
x² / b² + y² / a² = 1 (1)
coordenadas do foco F1 (0,c) e F2 (0, -c) (2)
distancia focal = 2c
excentricidade = e = c/a
a² = b² + c² (3)
o foco é F1 (0,-2), de (2) temos que c = 2
substituindo em (3)
a² = b² + c²
a² = b² + 2²
a² - b² = 4 (4)
o ponto P1 (1, √ 6) tem de satisfazer a eq da elipse (1), ou seja
x² / b² + y² / a² = 1
1² / b² + (√ 6)² / a² = 1
1 / b² + 6 / a² = 1
1 / b² = 1 - 6 / a²
b² = a² / ( a² - 6 ) -> substituindo em (4)
a² - b² = 4
a² - a² / ( a² - 6 ) = 4
[ a² ( a² - 6 ) - a² ] / ( a² - 6 ) = 4
a⁴ - 6 a² - a² = 4 ( a² - 6 )
a⁴ - 11 a² + 24 = 0
definindo x = a²
x² - 11x + 24 = 0
Δ = 11² – 4 1 24 = 25
X = ( 11 +/- 5) / 2 1
X1 = 8
X2 = 3
como x = a²
a1,2 = +/- √ 8 = +/- 2 √ 2
a3,4 = +/- √ 3
de (4) a² - b² = 4 -> b² = a² - 4
b² =8-4 = 4 -> b = 2
b² =3-4 = -1 -> como b² < 0 , desprezo a sol a² = 3
eq elipse (1) -> x² / b² + y² / a² = 1
x² / 4 + y² / 8 = 1
foco F1 (0,-2) significa que o foco esta na vertical
a eq elipse com o eixo maior na vertical , e centro da elipse na origem das coordenadas, é :
x² / b² + y² / a² = 1 (1)
coordenadas do foco F1 (0,c) e F2 (0, -c) (2)
distancia focal = 2c
excentricidade = e = c/a
a² = b² + c² (3)
o foco é F1 (0,-2), de (2) temos que c = 2
substituindo em (3)
a² = b² + c²
a² = b² + 2²
a² - b² = 4 (4)
o ponto P1 (1, √ 6) tem de satisfazer a eq da elipse (1), ou seja
x² / b² + y² / a² = 1
1² / b² + (√ 6)² / a² = 1
1 / b² + 6 / a² = 1
1 / b² = 1 - 6 / a²
b² = a² / ( a² - 6 ) -> substituindo em (4)
a² - b² = 4
a² - a² / ( a² - 6 ) = 4
[ a² ( a² - 6 ) - a² ] / ( a² - 6 ) = 4
a⁴ - 6 a² - a² = 4 ( a² - 6 )
a⁴ - 11 a² + 24 = 0
definindo x = a²
x² - 11x + 24 = 0
Δ = 11² – 4 1 24 = 25
X = ( 11 +/- 5) / 2 1
X1 = 8
X2 = 3
como x = a²
a1,2 = +/- √ 8 = +/- 2 √ 2
a3,4 = +/- √ 3
de (4) a² - b² = 4 -> b² = a² - 4
b² =8-4 = 4 -> b = 2
b² =3-4 = -1 -> como b² < 0 , desprezo a sol a² = 3
eq elipse (1) -> x² / b² + y² / a² = 1
x² / 4 + y² / 8 = 1
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