Question

Uma determinada empresa fabrica e comercializa dois produtos definidos pelas letras x e y. A produção da empresa é definida pela função
P(x,y) = x2 + y2 = 3600. O preço pela venda de uma unidade de A é de R$90,00 e de uma unidade de B é de R$75,00.

Sabendo que a função receita total é dada pelo produto entre o preço de venda e a quantidade de unidades vendidas de cada produto, analise as afirmações a seguir.

I. Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange para uma otimização condicionada a fim de encontrar a receita máxima, o valor de lambda será de 0,976.
II. A receita máxima encontrada para a otimização condicionada do problema assume o valor R$6.990,00.
III. Ao otimizar a função receita respeitando a restrição de produção, encontra-se um valor para x e y igual a 55 e 48, respectivamente.

É correto o que se afirma em:
Alternativas

Alternativa 1:
I, apenas.

Alternativa 2:
II, apenas.

Alternativa 3:
III, apenas.

Alternativa 4:
I e II, apenas.

Alternativa 5:
I, II e III.

Answer 1

P(xy) = x² + y² = 3600

Função receita = quantidade de produtos x e y vezes preço A e B

R(xy) = 90x + 75y

R(x) = ДP(x) ► Objetiva → R(y) = ДP(y) ►restritiva

Derivar as expressões acima

180 = Д2x → x = Д90

150 = Д2y → y = Д75

Substitui lambda na expressão de restrição

X² + Y² = 3600 → (90Д)² + (Д75)² =3600 → 8100Д² +5625Д² = 3600

Д²13725=3600 → Д² = 0262 → Д = 0,511859

Substitui o valor de lambda para encontrar valor de x e y

X = 0,511859 * 90 = 46 → Y = 0,511859 * 75 = 38

Substitui na função receita → R(xy) = 90*46 + 75 * 38 → R(xy) = R$ 6990,00