Question

Uma das utilidades do produto vetorial de vetores resulta em um outro vetor cuja norma resulta na área de um paralelogramo de lados congruentes à norma dos vetores utilizados n4Quando trabalhamos com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto escalar com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A esta operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em particular, o módulo deste resultado nos calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:

( ) O volume do paralelepípedo formado por (2, -1, 3), (0, 2, -5), (1, -1, -2) é igual à 19.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2, -1, 3), (0, 2, -5), (1, -1, -2) é igual à 12.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (4, 1, -2), (0, 1, 1), (1, 0, -2) é igual à 7.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (4, 1, -2), (0, 1, 1), (1, 0, -2) é igual à 5.
a operação. Supondo que esses vetores pertencem a um mesmo ponto e que eles possuem v = (-1, 0, 2) e u = (4, 0, -1), determine a área do paralelogramo delimitado por estes vetores e assinale a alternativa CORRETA:
A) 3.
B) 7.
C) 9.
D) 5.

Answer 1

Utilizando as definições de produto vetorial e de produto misto de vetores, concluímos que, a ordem correta para as afirmações feitas é VFFV e que a área do paralelogramo delimitados pelos vetores v e u é igual a 7, alternativa B.

Produto vetorial e produto misto de vetores

Temos que, três vetores não colineares no espaço formam um paralelepípedo e que o volume desse sólido pode ser calculado utilizando o módulo do produto misto desses três vetores.

Para calcular o produto misto basta dispor as coordenadas dos vetores nas linhas de uma matriz quadrada e, em seguida, calcular o determinante da matriz obtida.

O volume do paralelepípedo formado pelos vetores (2, -1, 3), (0, 2, -5) e (1, -1, -2) é igual a 19 unidades de volume:

$\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -5\\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix} = -19 \Rightarrow |-19| = 19$

O paralelepípedo formado pelos três vetores (4, 1, -2), (0, 1, 1) e (1, 0, -2) possui volume igual a 5 unidades de volume, de fato:

$\det \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} = -5 \Rightarrow |-5| = 5$

Para calcular área do paralelogramo que possui arestas associadas aos vetores v e u devemos calcular o vetor resultante do produto vetorial de v e u e, em seguida, calcular o módulo do vetor resultante:

$\det \begin{pmatrix} i & j & k \\ -1 & 0 & 2 \\ 4 & 0 & -1 \end{pmatrix} = (0, 7, 0) \Rightarrow |(0, 7, 0)| = \sqrt{0 + 49 + 0} = 7$

Para mais informações sobre produto vetorial, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/47674739

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