Question

Uma das soluções da equação 2^2x -6.2^x +5=0 é zero. A outra solução é um número compreendido entre:
a) 0 e 1
b) 1 e 2
c) 4 e 5
d) 3 e 4
e) 2 e 3

Answer 1

Nós teremos que transformar em uma equação do segundo grau.

$\boxed{2^{2x}-6*2^x+5=0}$

Vamos lembrar da propriedade:

$\boxed{a^{x*y} = (a^x)^y}$

Nós usaremos essa propriedade para $2^{2x}$ para poder transformar em uma equação do segundo grau substituindo $2^{2x}$ por uma incógnita qualquer.

$2^{2x}-6*2^x+5=0 \\\\ (2^x)^2-6*2^x+5=0$

Vamos chamar $2^{2x}$ de y e substituir na equação.

$(2^x)^2-6*2^x+5=0 \\ y^2-6*y+5=0 \\\\ \boxed{y^2-6y+5=0} \rightarrow \boxed{a = 1, b = -6, c = 5} \\\\ \Delta = b^2-4*a*c \\ \Delta = (-6)^2-4*1*5 \\ \Delta = 36-20 \\ \Delta = 16 \\\\ y = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\ \boxed{y' = \frac{6+\sqrt{16}}{2*1} = \frac{6+4}{2} = \frac{10}{2} = 5} \\ \boxed{y'' = \frac{6-\sqrt{16}}{2*1} = \frac{6-4}{2} = \frac{2}{2} = 1}$

Tendo o valor de y, nós igualamos a $2^{2x}$ para descobrir as duas soluções para a equação da questão.

$2^x = 5 \\ 2^x=1 \\\\ 2^x=5 \Rightarrow Aqui \ tomamos \ o \ logaritmo \ de \ base \ 2 \ em \ ambos \ os \ lados \downarrow \\ log_2(2^x) = log_2(5) \\ x = log_2(5) \\ \boxed{x \cong 2,32193} \\\\ 2^x = 1 \\ 2^x = 2^0 \\ x = 0$

Realmente uma das soluções para a solução da questão é zero e a outra está compreendida entre 2 e 3 ($x \cong 2,32193$).

Alternativa letra E).