Question

Uma das raizes da equação x³ - 7x² + x + b = 0 é o número 1. Outra raiz dessa equação é:

A) 3 - $\sqrt{14}$
B) 1 + $\sqrt{14}$
C) 2 - $\sqrt{9}$
D) 1 + $\sqrt{7}$
E) 3 - $\sqrt{7}$

Answer 1

Olá Recrut4.



Como 1 é uma das raízes da equação, temos:

$\mathsf{1^3 - 7\cdot 1^2 + 1 + b = 0 }\\\\\mathsf{1-7+1+b=0}\\\\\mathsf{-5+b=0}\\\\\mathsf{b=5}$


Aplicando Briot Ruffini para reduzir o grau da equação:


$\begin{array}{c|c|c}&\mathsf{1~-7~~~1}&\mathsf{~~5}\\\mathsf{1}&\mathsf{\downarrow~~~~1-6}&\mathsf{-5}\\&\mathsf{1~-6~-5}&\mathsf{~~0}\end{array}\\\\\\\\\mathsf{x^2-6x-5=0}\\\\\\\mathsf{\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-5)}\\\mathsf{\Delta=36+20}\\\mathsf{\Delta=56}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{56}}{2\cdot 1}}$

$\mathsf{x^+=\dfrac{6+\sqrt{56}}{2\cdot 1}\qquad\qquad\qquad x^-=\dfrac{6-\sqrt{56}}{2\cdot 1}}\\\\\\\mathsf{x^+=\dfrac{6+2\sqrt{14}}{2}\qquad\qquad~~~~x^-=\dfrac{6-2\sqrt{14}}{2}}\\\\\\\boxed{\mathsf{x^+=3+\sqrt{14}}}\qquad\qquad~~~ \boxed{\mathsf{x^-=3-\sqrt{14}}}}$


Alternativa (a)


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