Question

Uma das raízes da equação 9x² – 5mx + 2m – 8 = 0 é 2/3. Identifique o valor de m entre as opções abaixo, sabendo-se que a equação possui duas raízes desiguais:

Answer 1

Olá!

Se uma das raizes é 2/3 é lógico fazer:

$9.(\frac{2}{3})^2-5m. \frac{2}{3} + 2.\frac{2}{3}-8=0\\\\4-\frac{10m}{3} + \frac{4}{3}-8=0\\\\\frac{-10m+12}{3}+\frac{-24+4}{3}=0\\\\\frac{-10m+12}{3}+\frac{-20}{3}=0\\\\\frac{-10m-8}{3}=0\\\\-10m-8=0\\\\m=-\frac{8}{10} \Rightarrow m=-\frac{4}{5}$

Fazendo a operação algébrica dessa equação:

$9x^2-5mx+2m-8=0\\ax^2-bx+c=0\\\\a=9, b=5m, c=(2m-8)\\\\\Delta>0\\\\\Delta=(b)^2-4ac>0 \\\\(-5m)^2-4.9.(2m-8)>0\\\\25m^2 -72m+288>0$

Substituindo o valor encontrado de $m$ nessa equação temos:

$25m^2 -72m+288>0\\\\25.(\frac{-4}{5})^2-72.\frac{-4}{5} +288>0\\\\\frac{1648}{5}>0$

Assim temos que de fato, $m=-\frac{4}{5}$ é verdadeiro e implica $x\in \mathbb{R}$, e ainda mais, implica que a outra raíz é desigual a esta, pois $\Delta>0$.

Cara foi mal ai não ter feito a questão completa, mas eu não sei o que eu poderia fazer essa questão, pois eu tentei fazer a conta $25m^2-72m+288>0$ e não existe valores de $m$ reais nessa inequação, mas de fato, $m=-\frac{4}{5}$ pode ser uma solução.

Se tiver gabarito me manda para eu ver depois, até mais, espero ter ajudado em algo, ou te ajudar a achar uma resposta melhor sobre a questão.