Question

Uma das preocupações da análise diz respeito ao comportamento de uma determinada sequência. Verificar se uma sequência converge para um determinado valor, ou diverge, é uma dessas preocupações.

Abaixo vemos duas sequências; uma delas converge e a outra diverge.

Mostre os quatro primeiros termos de cada sequência e diga se ela converge ou diverge.

Answer 1

A sequência A diverge e a sequência B converge.

Para a sequência A, temos os quatro primeiros termos sendo:

a1 = (1² + 3.1 + 1)/(5.1 + 2) = 5/7

a2 = (2² + 3.2 + 1)/(5.2 + 2) = 11/12

a3 = (3² + 3.3 + 1)/(5.3 + 2) = 19/17

a4 = (4² + 3.4 + 1)/(5.4 + 2) = 29/22

Note que os valores estão aumentando cada vez mais. Como o polinômio do numerador tem grau maior que o do denominador, esta sequência irá divergir.

Para a sequência B, temos os quatro primeiros termos sendo:

b1 = (-1)¹.4/(3.1 + 5) = -4/8 = -1/2

b2 = (-1)².4/(3.2 + 5) = 4/11

b3 = (-1)³.4/(3.3 + 5) = -4/14 = -2/7

b4 = (-1)⁴.4/(3.4 + 5) = 4/17

Note que apesar da inversão de sinal, o denominador continua aumentando, fazendo com que esta sequência convirja para zero.