Question

Uma das hipóteses para explicar a extinção dos dinossauros, ocorrida há cerca de 60 milhões de anos, foi a colisão de um grande meteoro com a Terra. Estimativas indicam que o meteoro tinha massa igual a 10^16 kg e velocidade de 30 km/s, imediatamente antes da colisão. Supondo que esse meteoro estivesse se aproximando da Terra, numa direção radial em relação à orbita desse planeta em torno do Sol, para uma colisão frontal, determine

a) a quantidade de movimento Pi do meteoro imediatamente antes da colisão;

b) a energia cinética Ec do meteoro imediatamente antes da colisão;

c) a componente radial da velocidade da Terra, Vr, pouco depois da colisão;

d) a energia Ed, em megatons, dissipada na colisão.

Note e adote:
A órbita da Terra é circular.
Massa da Terra: 6 x 10^24 kg.
1 megaton = 4 x 10^15 J é a energia liberada pela explosão de um milhão de toneladas de trinitrotolueno.

Answer 1

Vamos as respostas!

a)
Considerando o momento antes da colisão, a quantidade de movimento do meteoro tem módulo P, dado pela seguinte fórmula:
Pi = 3,0 . 10²° kg . m/s
pi = 3,0 . 10²° kg . m/s

Resposta = Pi = 3,0 . 10²° kg . m/s

b)
A fórmula da energia cinética Ec do meteoro antes da colisão é:
Ec = (mV²)/ 2 = 10¹⁶/2 . (3,0 . 10⁴)² (J)
Ec = 4,5 . 10²⁴ J

Resposta: Ec = 4,5 . 10²⁴ J

c) Conservação da quantidade de movimento na direção perpendicular à trajetória do planeta
Pf = Pi
(M = m) Vr = Pi

Sabendo que M é muito maior que m, logo M + m ≈ M:
MVr = Pi
6,0 . 10²⁴Vr = 3,0 . 10²⁰
Vr = 0,5 . 10⁻⁴ m/s
Vr = 5,0 . 10⁻⁵ m/s

Resposta: Vr = 5,0 . 10⁻⁵ m/s

d) Para calcular a energia Ed, em megatons, dissipada na colisão, consideramos

- Vt o módulo da velocidade de translação da Terra, suposto inalterável. A energia cinética inicial do sistema Terra Meteoro antes da colisão é:
Ecini =  mV²/2 = MVt²/2

Já a energia final é:

Ecinf = (M + m/2) . Vr²

Vr² = Vt² + Vr²

Sabendo que M é muito maior que m, temos = M + m ≈ M

Ecinf = M/2 (Vt² = Vr²) = MVT²/2 +  MVr²/2

A energia mecânica emanada durante a colisão é:

Ed =  Ecini - Ecinf = M V² / 2 - Mvr²/2

mV₂/2 = Ec = 4,5 . 10²⁴ J

MVr² / 2 = 6,0 10²⁴/2 . 25.10⁻¹⁰ J = 7,5 . 10¹⁵ J

Como m V²/2 é muito maior que MVr²/2, temos:

Ed = Ec = 4,5 . 10²⁴ J
1 megaton = 4 . 10¹⁵ J
Ed = (4,5 . 10²⁴) / (4 . 10¹⁵) megatons

Ed = 1,1 . 10⁹ megatons

Resposta: 1,1 . 10⁹ megatons

Answer 2

a)

Considerando o momento antes da colisão, a quantidade de movimento do meteoro tem módulo P, dado pela seguinte fórmula:

Pi = 3,0 . 10²° kg . m/s

pi = 3,0 . 10²° kg . m/s

Resposta = Pi = 3,0 . 10²° kg . m/s

b)

A fórmula da energia cinética Ec do meteoro antes da colisão é:

Ec = (mV²)/ 2 = 10¹⁶/2 . (3,0 . 10⁴)² (J)

Ec = 4,5 . 10²⁴ J

Resposta: Ec = 4,5 . 10²⁴ J

c) Conservação da quantidade de movimento na direção perpendicular à trajetória do planeta

Pf = Pi

(M = m) Vr = Pi

Sabendo que M é muito maior que m, logo M + m ≈ M:

MVr = Pi

6,0 . 10²⁴Vr = 3,0 . 10²⁰

Vr = 0,5 . 10⁻⁴ m/s

Vr = 5,0 . 10⁻⁵ m/s

Resposta: Vr = 5,0 . 10⁻⁵ m/s

d) Para calcular a energia Ed, em megatons, dissipada na colisão, consideramos

- Vt o módulo da velocidade de translação da Terra, suposto inalterável. A energia cinética inicial do sistema Terra Meteoro antes da colisão é:

Ecini = mV²/2 = MVt²/2

Já a energia final é:

Ecinf = (M + m/2) . Vr²

Vr² = Vt² + Vr²

Sabendo que M é muito maior que m, temos = M + m ≈ M

Ecinf = M/2 (Vt² = Vr²) = MVT²/2 + MVr²/2

A energia mecânica emanada durante a colisão é:

Ed = Ecini - Ecinf = M V² / 2 - Mvr²/2

mV₂/2 = Ec = 4,5 . 10²⁴ J

MVr² / 2 = 6,0 10²⁴/2 . 25.10⁻¹⁰ J = 7,5 . 10¹⁵ J

Como m V²/2 é muito maior que MVr²/2, temos:

Ed = Ec = 4,5 . 10²⁴ J

1 megaton = 4 . 10¹⁵ J

Ed = (4,5 . 10²⁴) / (4 . 10¹⁵) megatons

Ed = 1,1 . 10⁹ megatons

Resposta: 1,1 . 10⁹ megatons