Question

Uma das funções mais comuns nos cálculos de integral, além, é claro, de polinômios, são funções trigonométricas. Sua importância reside em ser funções que descrevem fenômenos periódicos, ou seja, que se repetem com regularidade, como o funcionamento de uma máquina, os períodos de entrega de matéria-prima e assim por diante. Sobre as integrais de funções trigonométricas, é correto afirmar que a integral

Alternativas
Alternativa 1:
Vale 0.

Alternativa 2:
Vale 2π.

Alternativa 3:
Vale 1.

Alternativa 4:
Vale π².

Alternativa 5:
Vale π.

Answer 1

Olá

Temos que $\int\limits^{pi}_0 \int\limits^{pi}_0 {1+senx.cosy} \, dxdy =$.

Das propriedades de integral, vamos separar essa integral:

$\int\limits^{pi}_0 \, \int\limits^{pi}_0 {1} \, dxdy + \int\limits^{pi}_0 \, \int\limits^{pi}_0 {senx.cosy} \, dxdy =$

Agora, calculando cada uma temos que:

Lembrando que $\int\ {senx} \, dx = -cosx +c$ e $\int{cosx} \, dx = senx +c$ e que depois de integrar temos que aplicar o limite superior menos o limite inferior.

$\int\limits^{pi}_0 {x} \, dy + \int\limits^{pi}_0{cosy}\, \int\limits^{pi}_0 {senx} \, dxdy =$
$\int\limits^{pi}_0 {(pi-0)} \, dy + \int\limits^{pi}_0 {cosy} \, (-cosx)dy =$
$\int\limits^{pi}_0 {pi} \, dy + \int\limits^{pi}_0 {cosy}(-cos(pi) - (-cos0)) \, dy =$
$pi \int\limits^{pi}_0 \, dy + \int\limits^{pi}_0 {2cosy} \, dy =$
$pi .(pi - 0) + 2(sen(pi)-sen0))=$
$pi^{2} + 2.0 =$
$pi^{2}$

Portanto, a alternativa correta é a 4