Question

Uma das atuações da Engenharia é trabalhar como perito criminal da Polícia Científica. Considere que você é perito e está ajudando a investigar o caso de uma suposta intoxicação acidental. Um medicamento foi administrado à vítima e ela apresentou-se mal após 1 hora da administração do mesmo. Quando foi ver, o medicamento tomado estava trocado e ela acabou ingerindo outra substância, acusando a enfermeira cuidadora de querer envenená-la. Após 2 horas da administração do medicamento, uma amostra de sangue foi coletada da vitima para identificação da quantidade de medicamento circulante. Sabe-se que a função que determina a quantidade deste medicamento no sangue é dada por:



​Sendo q(t) a quantidade do medicamento, em miligramas, e t o tempo, em horas. A dose mínima tóxica é de 10 mg para um adulto. Determine se o medicamento tomado teria capacidade de intoxicar de fato a vítima calculando sua quantidade máxima no organismo, e calcule em quanto essa dosagem do medicamento seria máxima, bem como a quantidade do medicamento após 1 hora de seu consumo.

Assinale a alternativa correta:

Alternativas
Alternativa 1:
Cmáx = 8,95mg; tmáx = 1,5h; C(1h) = 5,81mg. Dose não tóxica.

Alternativa 2:
Cmáx = 14,15mg; tmáx = 2,2h; C(1h) = 5,81mg. Dose tóxica.

Alternativa 3:
Cmáx = 6,25mg; tmáx = 0,69h; C(1h) = 5,81mg. Dose não tóxica.

Alternativa 4:
Cmáx = 11,1mg; tmáx = 0,55h; C(1h) = 5,81mg. Dose tóxica.

Alternativa 5:
Cmáx = 8,45mg; tmáx = 3,1h; C(1h) = 5,81mg. Dose não tóxica.

Answer 1

Resposta:

cmáx=6,25mg;tmax=0,69;C(1h)=5.81.Dose tóxica

Explicação passo-a-passo:

25(e^-0,69 - e^-2*0,69)

25(e^-1 - e^-2*1)

Answer 2

A dose máxima é de 6,25 mg (no tempo de 0,69h). Sendo assim, não é tóxica. Após 1h de consumo terão 5,75 mg do medicamento. Alternativa 3.

Primeiramente vamos encontrar a quantidade máxima de medicamento no organismo.

A fórmula da questão é:

$q(t) = 25(e^{-t} - e^{-2t})$

Vamos derivar ele, em relação ao tempo. Ou seja:

$q'(t) = 25*(-e^{-t} + 2e^{-2t}) = 25(2e^{-2t} - e^{-t})$

Igualando a zero:

$q'(t) = 0\\\\25(2e^{-2t} - e^{-t}) = 0\\\\2e^{-2t} - e^{-t} = 0\\\\2e^{-2t} = e^{-t}\\\\2 = e^{-t}/e^{-2t} = e^{-t + 2t} = e^t$

Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados:

$ln(2) = ln(e^t)\\\\t = ln2 = 0,6931$

No instante t = 0,6391 h a quantidade do medicamento será máxima. Vamos agora encontrar essa quantidade:

$q(0,6931) = 25*(e^{-0,6931} - e^{2*0,6931}) = 25*(0,5 - 0,25) = 25*0,25 = 6,25$

Logo a dose máxima que pode ser ingerida é de 6,25 mg. Portanto não foi tóxica, visto que a dosagem mínima é de 10 mg.

Após 1h do consumo, teremos:

$q(1) = 25*(e^{-1} - e^{-2}) = 25*(0,37 - 0,14) = 5,75$

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