Question

Uma das aplicações do conceito de integração é o cálculo da área entre curvas. Este procedimento permite que sejam calculadas áreas que antes, com a utilização da geometria clássica, eram inacessíveis. Sendo assim, determine a área entre as curvas y = x² e y = 2x:

I- A área entre as curvas é 4/3.
II- A área entre as curvas é 8/3.
III- A área entre as curvas é 1/6.
IV- A área entre as curvas é 15/4.

Answer 1

Pormeio da integral encontramos a alternativa I: área igual a $\frac{4}{3}$

Queremos obter a área entre essas duas curvas.

A primeira coisa a ser feita é determinar o intervalo de integraçao.

Como o problema não deu nenhum intervalo em específico, podemos assumir que se deve integrar a região limitada pela interseção das duas curvas (observe a figura em anexo)

podemos encontrar a interseção ao fazer

x² = 2x

x² - 2x = 0

x(x - 2) = 0

Portanto ou x=0 ou x=2. Logo é a área entre x=0 e x=2

Além disso, podemos ver que, no intervalo de 0 até 2, a reta y=2x está acima da parábola y=x²

Calcular a área de uma função é sempre em relação ao eixo x (y igual a zero).

portanto para calcular a área entre as duas, precisamos subtrair da área 2x a  área  x².

Vamos por etapas:

Primeiro calculamos a área y=2x:

$\int_0^2 2x=\frac{2x^2}{2}|_0^2=x^2|_0^2=2^2-0^2=4$

portanto $\int_0^2 2x =4$

Em seguida vamos calcular a área y=x²

$\int_0^2 x^2=\frac{x^3}{3}|_0^2=\frac{2^3-0^3}{3}=\frac{8}{3}$$\int_0^2 x^2=\frac{8}{3}$

A área entre as duas curvas será a subtração das áreas $4-\frac{8}{3}=\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3}$

Portanto a alternativa I está correta

portanto