Question

Uma das aplicações de uma derivada é encontra o valor máximo o mínimo de uma função. Em diversas áreas podemos utilizar essas aplicações, com por exemplo: o menor custo de fabricação de um produto, a força máxima de um objeto, o maior lucro da venda de um produto, a área máxima, o menor volume, entre outros. Estes problemas são conhecidos como problemas de otimização no qual o objetivo é ter o melhor a aproveitamento de uma função. Considere a seguinte situação: Uma pessoa tem uma área livre em seu quintal. Essa área tem formato retangular e o dono do terreno comprou 300 metros de cerca para delimitar essa região e fazer um canteiro de verduras e ervas finas. Determine a medidas dos lados desse canteiro para que a área seja a maior possível.

Answer 1

Considere que os lados do canteiro são x e y.

Como o dono comprou 300 metros de cera para delimitar o canteiro, então podemos concluir que o perímetro é igual a 300, ou seja,

2x + 2y = 300

x + y = 150

O canteiro possui formato retangular. Então, a sua área é igual a:

A = x.y.

Do perímetro, podemos dizer que y = 150 - x.

Substituindo o valor de y na área, obtemos:

A = x.(150 - x)

A = 150x - x².

Derivando a equação da área:

A' = 150 - 2x.

Assim,

150 - 2x = 0

2x = 150

x = 75 e 75 + y = 150 ∴ y = 75.

Portanto, para que a área seja a maior possível, os lados do canteiro deverão medir 75 metros.