Question

Uma das aplicações da integral de linha escalar é no cálculo da massa total. Marque a alternativa que contém a massa total, em gramas, de uma peça circular de arame de 4 cm de raio centrado na origem cuja densidade de massa seja ​​​​​​​​​​​​​​

Answer 1

A integral de linha vale:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{0}^{2\pi}\delta(\gamma(t))\|\gamma'(t)\|\,dt = r^3\int_{0}^{2\pi} \cos^2 t\, dt = \pi r^3\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\text{Massa} = \pi r^3 = 64\pi\end{gathered}$

Para resolver uma integral de linha, primeiro temos que ter uma parametrização γ para a nossa curva, depois calcular sua derivada e a norma da derivada, podemos representar a integral de linha de uma função de densidade δ como:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{\gamma} \delta(x, y)\, ds = \int_{a}^{b}\delta(\gamma(t))\|\gamma'(t)\|\,dt\end{gathered}$

Ou seja, a massa é dada pela integral de linha:

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\text{Massa} = \int_{\gamma}\delta(t)\,dt\end{gathered}$

Então primeiro vamos parametrizar nossa curva γ, um das parametrizações da circunferência é dado por:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}x = r\cos t\\ \\y = r\sin t\end{cases}\ 0 \leq t \leq 2\pi,\ r \in \mathbb{R}\end{gathered}$

Sento assim, nossa circunferência pode ser parametrizada como a curva γ

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\gamma(t) = \left(r\cos t, \ r\sin t\right)\end{gathered}$

Onde r é o raio da circunferência de origem no centro.

Derivando nossa curva γ temos

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\gamma'(t) = \left(-r\sin t, \ r\cos t\right)\end{gathered}$

Calculando o módulo da derivada da curva temos

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\|\gamma'(t)\| = \sqrt{r^2\sin^2t +r^2\cos^2t }\\ \\\|\gamma'(t)\| = \sqrt{r^2\left(\sin^2t +\cos^2t\right)}\\ \\\|\gamma'(t)\| = r, \ \forall t \in [0, 2\pi]\end{gathered}$

Antes de voltar para a definição de integral de linha, temos que lembrar que a função densidade δ também deve ser escrita em função do parametro t, como x = rcos(t), a função δ passa a ser

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\delta(x, y) = x^2 \Rightarrow \delta(\gamma(t)) = r^2\cos^2t\end{gathered}$

Então nossa integral de linha passa a ser:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{0}^{2\pi}r^2\cos^2 t\cdot r\, dt = \int_{0}^{2\pi}r^3\cos^2 t\, dt\end{gathered}$

Como nosso raio é uma constante, ele pode sair da integral, ficando:

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}r^3\int_{0}^{2\pi}\cos^2 t\, dt\end{gathered}$

Lembrando das relações trigonométricas, podemos escrever o coseno ao quadrado como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}\sin^2t + \cos^2t = 1\\ \\\cos^2t - \sin^2t = \cos2t\end{cases} \Rightarrow \cos^2t = \frac{1+\cos 2t}{2}\end{gathered}$

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                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}r^3\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos2t}{2}\, dt\end{gathered}$

Novamente utilizando a propriedade de multiplicação por escalar:

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{r^3}{2}\int_{0}^{2\pi}1+\cos2t \, dt\end{gathered}$

Como a integral da soma é a soma da integrais podemos escrever que:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{r^3}{2}\left[\int_{0}^{2\pi}1\,dt+\int_{0}^{2\pi}\cos2t \, dt\right]\end{gathered}$

A primeira integral é imediata, sendo:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{r^3}{2}\left[t\bigg|_{0}^{2\pi}+\int_{0}^{2\pi}\cos2t \, dt\right]\end{gathered}$

Que resulta em

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{r^3}{2}\left[2\pi+\int_{0}^{2\pi}\cos2t \, dt\right]\end{gathered}$

Fazendo uma pequena substituição podemos calcular a segunda derivada, usando u = 2t e du = 2dt, temos

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{r^3}{2}\left[2\pi+\frac{1}{2}\int_{0}^{4\pi}\cos u \, du\right]\end{gathered}$

Que se torna uma integral imediata, portanto

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{r^3}{2}\left[2\pi+\frac{\sin2t}{2}\bigg|_{0}^{2\pi}\right]\end{gathered}$

Neste caso vale 0 nos dois limites de integração, sobrando apenas

                                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{2\pi r^3}{2}\end{gathered}$

Ou então:

                                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\text{Massa} = \pi r^3\end{gathered}$

Como nosso raio é 4cm, o valor da massa é:

                                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}\text{Massa} &= 64\pi \\ \\ \text{Massa}&\approx 201{,}06\text{ g}\end{aligned}$

Espero ter ajudado

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