Question

Uma cultura de bactérias cresce segundo a lei Q(t)=5000·e$x^{\alpha *t}$ onde Q(t) é o número de bactérias em t horas,com t≥0 e $\alpha$ uma constante estritamente positiva. Se após 2 horas o número de bactérias é duplicado,calcule o número de bactérias após 6 horas.

Answer 1

Resposta:

Após 6 horas temos 40.000 bactérias.

Explicação passo-a-passo:

$Q(t)=5000e^{\alpha.t}~~(I)$

Após 2 h duplicou a quantidade de bactérias:

Q'=2Q

$Q'(t)=2Q(t)=5000e^{\alpha.(t+2)}~~(II)$

Dividindo (II)/(I)

$\displaystyle\frac{Q'(t)}{Q(t)}=\frac{2Q(t)}{Q(t)}=\frac{5000e^{\alpha.(t+2)}}{5000e^{\alpha.t}}\\\\2=\frac{e^{\alpha.(t+2)}}{e^{\alpha.t}}\\\\\\2=e^{\alpha.(t+2-t)}\\2=e^{2\alpha}\\ln2=lne^{2\alpha}\\ln2=2\alpha.lne\\ln2=2\alpha\\\\\alpha=\frac{ln2}{2}$

Após 6h:

$Q(t)=5000e^{\frac{ln2}{2}.t}\\\\Q(6)=5000e^{\frac{ln2}{2}.6}\\\\Q(6)=5000e^{3.ln2}\\\\Q(6)=40.000$