Question

Uma cônica tem equação 9x² + 5y² + 54x - 30y + 81 = 0
caracterize a cônica, determine seus elementos e faça um esboço do gráfico
Por favor, me ajudem.​

Answer 1

Resposta:

Elipse de semieixo maior 3, semieixo menor $\sqrt{5}$ e centro o ponto de coordenada (-3,3).

Para esboço do gráfico, ver imagem em anexo.

Explicação passo-a-passo:

A melhor forma de determinar a cônica é manipular a equação de modo que ela se assemelhe com àquela relacionada a alguma curva conhecida. Dito isto, tomemos:

$9x^{2} +5y^{2} +54x-30y+81=0$

Reordenando e fatorando:

$9x^{2} +54x+81+5y^{2} -30y=0\\9(x^{2} +6x+9)+5(y^{2} -6y)=0\\9(x+3)^{2} +5(y-3)^{2} -45=0$

Aqui vale um comentário. O que foi feito acima foi manipular a equação para fatorar os termos e cairmos em um produto notável, porém o termo multiplicado por 5 modifica a equação original em + 45, o que não é permitido, por isso a subtração por 45. Aconselho a conferência da resolução para verificação do raciocínio.

Por fim, reorganizando a equação temos:

$9(x+3)^{2} +5(x-3)^{2} =45$

Se dividirmos ambos os lados da equação por 45 e simplificarmos obteremos:

$\frac{(x+3)^{2} }{5} +\frac{(x-3)^{2} }{9}=1$

Que é a equação de uma elipse.

Portanto, nossa cônica é uma elipse cujo semieixo maior é 3, o semieixo menor é $\sqrt{5}$ e o centro é o ponto de coordenada (-3,3).