Question

Uma confeitaria faz a seguinte promoção :

'' Compre x doces , com 60 ≤ x < 140, e ganhe ( x / 2 )% de desconto '' .

Se um cliente pretende comprar 72 doces , quantos doces adicionais ele poderia comprar , pagando o mesmo preço

→ Preciso de ajuda para deduzir a fórmula dessa questão com relação ao desconto

Answer 1

Calculamos a porcentagem de um valor multiplicando esse valor pela taxa de porcentagem e dividindo o produto por 100.
Exemplo: 30% de 50 = 30.50/100 = 1500/100 = 15

Consideremos como preço de cada doce o valor de 1 real. Dessa forma, o preço total dos doces comprados será igual à sua quantidade. Assim, temos:

preço total dos doces = 1.x = x
desconto = x.(x/2) : 100 = x²/2 : 100 = x²/200
f(x) = x - x²/200
f(72) = 72 - 72²/200 = 72 - 5184/200 = 72 - 25,92 = 46,08

Como a função é de segundo grau temos outro valor que resulta em 46,08 reais:

f(x) = 46,08 => -x²/200 + x = 46,08 => -x²/200 + x - 46,08 = 0
Δ = 1² - 4.(-1/200).(-46,08) = 1 - 46,08/50 = 1 - 0,9216 = 0,0784
x' = (-1 - √0,0784) : (2.(-1/200)) =  (-1 - 0,28) : (-2/200) = -1,28 : (-1/100) = -128 : -1 = 128

x'' = (-1 + √0,0784) : (2.(-1/200)) =  (-1 + 0,28) : (-2/200) = -0,72 : (-1/100) = -72 : -1 = 72

Resposta: os valores de x poderão ser 72 e 128. Portanto, o número de doces adicionais que se poderia comprar pelo mesmo preço seria 128 - 72 = 56 doces.

Answer 2

Olá Ludeen,


Supondo que o doce custe R$ 10,00 ( mais poderia ser qualquer valor ). Ao comprar 2 doces ele teria 1% de desconto:

$\mathsf{x\cdot 10+\dfrac{x}{2}\% \Longleftrightarrow2\cdot 10+\dfrac{2}{2}\%\Longleftrightarrow20+1\%\Longleftrightarrow20\cdot\dfrac{100-1}{100}\Longleftrightarrow\boxed{\mathsf{19,8 }}}$

Perceba agora se formos aumentando cada vez mais a quantidade de doces comprados:

$\mathsf{3\cdot 10+\dfrac{3}{2}\%\Longleftrightarrow30\cdot\dfrac{100-\dfrac{3}{2}}{100}\Longleftrightarrow30\cdot\dfrac{200-3}{2}\cdot \dfrac{1}{100}\Longleftrightarrow30\cdot \dfrac{197}{200}}\\\\=\\\\\boxed{\mathsf{29,55}}\\\\\\\mathsf{4\cdot 10+\dfrac{4}{2}\%\Longleftrightarrow40\cdot\dfrac{100-2}{100}\Longleftrightarrow40\cdot\dfrac{98}{100}\Longleftrightarrow\boxed{\mathsf{39,2}}}$

$\mathsf{5\cdot10+\dfrac{5}{2}\%\Longleftrightarrow 50\cdot \dfrac{100-\dfrac{5}{2}}{100}\Longleftrightarrow50\cdot\dfrac{200-5}{2}\cdot\dfrac{1}{100}\Longleftrightarrow50\cdot\dfrac{195}{200}}\\\\=\\\\\boxed{\mathsf{48,75}}$


Perceba que, cada vez que aumentamos a quantidade de doce, o desconto fica maior e consequentemente o custo diminui:

De 5 doces para 4 ⇔ 48,75 - 39,2 = 9,55
De 4 doces para 3 ⇔ 39,2 - 29,55 = 9,65
De 3 doces para 2 ⇔ 29,55 - 19,8 = 9,75

Portanto podemos criar uma relação aqui:


$\mathsf{10\cdot x\cdot \dfrac{100-\dfrac{x}{2}}{100}\Longleftrightarrow\diagup\!\!\!\!\!10\cdot x\cdot\dfrac{200-x}{2}\cdot\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\!\!\!100}\Longleftrightarrow\boxed{\mathsf{\dfrac{200x-x^2}{20}}}}$


Então já sabemos a equação que representará o custo em função da quantidade de doces, com o desconto. 

Vamos calcular agora quanto você pagaria ao comprar 72 unidades de doces:


$\mathsf{\dfrac{200\cdot72-(72)^2}{20}\Longleftrightarrow \dfrac{14.400-5.184}{20}\Longleftrightarrow \dfrac{9.216}{20}\Longleftrightarrow \boxed{\mathsf{460,8}}}$


Você pagaria R$ 460,8. 

Agora vamos calcular quantos doces adicionais você poderia comprar pagando o mesmo preço:

$\mathsf{x~\gets quantidade~adicional}\\\\\\\mathsf{\dfrac{200\cdot(72+x)-(72+x)^2}{20}=460,8}\\\\=\\\\\mathsf{14.400+200x-(x^2+144x+5.184)=460,8\cdot 20}\\\\=\\\\\mathsf{14.400+200x-x^2-144x-5.184=9.216}\\\\=\\\\\mathsf{-x^2+56x=0\Longleftrightarrow x\cdot(56-x)=0}\\\\=\\\\\mathsf{x=56}$


Por tanto, com mais 56 unidades de doces você pagaria a mesma quantia!

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