Question

Uma circunferência T1 possui um arco de 45° com o mesmo comprimento de um arco de 30° de outra circunferência T2. Qual a razão entre as áreas dos círculos determinados pelas circunferências T1 e T2 ?

Answer 1

A razão entre as áreas dos círculos determinados pelas circunferências T₁ e T₂ é:

4/9

A medida de um arco de circunferência é o produto do ângulo (em radianos) pelo raio.

Em T₁, temos:

α = 45° ou α = π/4

O comprimento do arco é:

L₁ = π/4 · r₁

Em T₂, temos:

α = 30° ou α = π/6

O comprimento do arco é:

L₂ = π/6 · r₂

Como os comprimentos dos arcos são iguais, temos:

L₁ = L₂

π/4 · r₁ = π/6 · r₂

r₁ = r₂

4      6

6r₁ = 4r₂

r₁ = 4 = 2

r₂     6     3

Como a área do círculo é dada por π·r², a razão entre as áreas dos círculos é:

r₁² = 2²  = 4

r₂²     3²      9