Question

Uma circunferência possui raio 3 e centro ( 3 , -2), calcule a equação geral da circunferência.

Answer 1

A equação geral da circunferência é $\mathsf{x^2+y^2-6x+4y+4=0.}$

Explicação

Seja uma circunferência $\mathsf{\lambda}$ de centro C(a, b) e raio r. Um ponto P(x, y) pertence a $\mathsf{\lambda}$ se ele satisfaz a seguinte equação:

$\boxed{\mathsf{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,}}$

a qual é chamada de equação reduzida de $\mathsf{\lambda}$. Desenvolvendo-a encontramos a chamada equação geral da circunferência:

$\mathsf{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\implies\\\\\\\implies\mathsf{x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2}\implies\\\\\\\implies\boxed{\mathsf{x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0}}$

Desse modo, como esta questão quer saber a equação geral da circunferência que possui raio 3 e centro (3, -2), vamos substituir esses dados na fórmula da equação reduzida. Perceba que, neste caso, temos $\mathsf{a=3,\:b=-2}\textsf{ e }\mathsf{r=3.}$ Substituindo-os, segue que:

$\mathsf{(x-3)^2+(y+2)^2=3^2}$

Agora, vamos desenvolver essa equação e, assim, encontrar a forma geral pedida:

$\mathsf{(x-3)^2+(y+2)^2=3^2}\implies\\\\\\\implies\mathsf{x^2-6x+9+y^2+4y+4=9}\implies\\\\\\\implies\mathsf{x^2+y^2-6x+4y+9+4-9=0}\implies\\\\\\\implies\boxed{\boxed{\mathsf{x^2+y^2-6x+4y+4=0}}}$

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Espero ter ajudado! :)