Uma circunferência contida no plano xOy
passa pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (9, 3).
Determine a equação geral, o centro e o
raio dessa circunferência.
Soluções para a tarefa
Resposta:
C(4 , 3)
r = 5
Explicação passo-a-passo:
Geometria analítica :
Para determinar a equação da circunfêrencia que passa por três pontos A , B e C ,vamos seguir as etapas abaixo...
1. Sabe-se que a equação da circunfêrencia é do tipo :
x² + y² + Ax + By + C = 0
Então se temos os pontos :
A(0 , 0) , B(0 , 6) e C(9 , 3)
Sabe-se que A(x , y)
Então , pegando no ponto A :
A(0 , 0)
0² + 0² + A•0 + B•0 + C = 0
0 + 0 + 0 + 0 + C = 0
C = 0
Pegando no ponto B :
B(0 , 6)
0² + 6² + A•0 + B•6 + C = 0
C + 6B + 36 = 0
C + 6B = -36
0 + 6B = -36
6B = -36
B = -36/6
B = -6
Pegando no ponto C :
C(9 , 3)
9² + 3² + A•9 + B•3 + 0 = 0
81 + 9 + 9A + 3B = 0
90 + 9A + 3•(-6) = 0
9A + 90 - 18 = 0
9A + 72 = 0
9A = -72
A = -72/9
A = -8
Então temos que :
A = -8 , B = -6 e C = 0
Logo com estes valores já podemos tranquilamente montar a equação :
x² + y² + Ax + By + C = 0
x² + y² + (-8)x + (-6)y + C = 0
x² + y² -8x - 6y + 0 = 0
x² + y² - 8x - 6y = 0 >>>>Equação
Tendo achado a equação da circunfêrencia , vamos agora achar o centro e o raio dela .
mas primeiro , teremos que fatorar a equação .
x² + y² -8x -6y = 0 , Vamos agrupar os termos em x :
x² - 8x + y² - 6y = 0 , Vamos fazer o preenchimento de quadrados perfeitos , sem se esquecer de somar sempre também no segundo membro :
x² - 8x + 16 + y² - 6y + 9 = 0 + 16 + 9
(x - 4)² + (y - 3)² = 25
logo o centro da circunfêrencia vai ser :
C(4 , 3)
E o raio da circunfêrencia vai ser :
r² = 25
r² = 5²
r = 5
Espero ter ajudado bastante!)
de acordo com o enunciado vem:
equaçao:
(x - a)² + (y - b)² = r²
ponto (0, 0), a² + b² = r²
ponto (0, 6), a² + b² - 12b + 36 = r²
ponto (9, 3), a² - 18a + 81 + b² - 6b + 9 = r²
r² - 12b + 36 = r²
12b = 36
valor de b:
b = 3
valor de a:
r² - 18a + 90 - 18 = r²
18a = 90 - 18
a = 90/18 - 18/18 = 5 - 1 = 4
valor do raio:
r² = a² + b² = 16 + 9 = 25
equaçao:
(x - 4)² + (y - 3)² = 25