Question

Uma cidade tem 5 bilhões de cédulas monetárias em papel-moeda em circulação.
Trinta milhões delas são levadas diariamente aos bancos para depósitos e essa mesma quantidade é devolvida pelos bancos à comunidade.
Em virtude de uma mudança de regime, o Governo decidiu emitir outro tipo de cédula, e assim, sempre que uma cédula velha chega aos bancos, ela é destruída e substituída pela
cédula nova.
Quanto tempo levará para que 90% do papel-moeda em circulação sejam substituídos?

Answer 1

É simples, essa é uma questão de Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem (EDO)

$\dot{y}=ky$

$\frac{dy}{dt}=k*y$

passa o y para a esquerda, e o dx para a direita.

$\frac{1}{y}~dy=k~dt$

Agora integra dos dois lados

$\int\limits_{P_o}^{P(t)}\frac{1}{y}~dy=\int k~dt$

$ln\left(\frac{P(t)}{P_o}\right)=k*t$

$\frac{P(t)}{P_o}=e^{k*t}$

Passa o $P_o$ multiplicando para a direita

$P(t)=P_o*e^{k*t}$

Agora vamos descobrir os parâmetros, eu vou dividir o valor por 1,000,000 para facilitar

$5~bilh\~oes=5*10^{9}\overbrace{=}^{:10^6}5,000$

$30~milh\~oes=30*10^{6}\overbrace{=}^{:10^6}30$

Se em um dia 30 milhões de notas são trocadas, então

no primeiro dia temos 4970 de notas usadas já

$4970=5000*e^{k}$

$k=-0.00602$

agora ficamos com

$P(t)=5000*e^{-0.00602*t}$

Agora o exercício quer que 90% das notas velhas já tenham sido substituídas, então restaram apenas 10%, e 10% de 5000 é o mesmo que 500

$500=5000*e^{-0.00602*t}$

$\boxed{\boxed{t=383~dias}}$