Question

Uma chapa metalica plana tem uma temperatura T, em graus célsius, dada por T(x,y) = 10x^2 +2x+30y^2, determine: a- Os pontos críticos das funções b- Os pontos máximo e mínimo da chapa c- O valor da temperatura máxima ou mínima.

Answer 1

A) Sendo T a função dada por T(x, y) = 10x² + 2x + 30y², temos o seu gradiente dado por:
∇T(x, y) = ((∂T/∂x)(x, y), (∂T/∂y)(x, y)) = (20x + 2, 60y)

Os pontos críticos ocorrem quando o gradiente é igual ao vetor nulo:
∇T(x, y) = (0, 0) ⇔ (20x + 2, 60y) = (0, 0)

Igualando componente a componente:
• 20x + 2 = 0 ⇔ x = –1/10
• 60y = 0 ⇔ y = 0

Portanto temos um ponto crítico de coordenadas (–1/10, 0).

B) A temperatura é mínima ou máxima no ponto (–1/10,0).

Para saber se é máximo ou mínimo, calculamos a matriz hessiana (correspondente à 2.ª derivada):
[∂²T/∂x² ∂²T/∂y∂x]
[∂²T/∂x∂y ∂²T/∂x²]

Ou seja:
[20 0]
[0 60]

Como a hessiana é diagonal, os seus valores próprios são 20 e 60 e, sendo ambos positivos, a matriz é definida positiva, pelo que a função tem a concavidade voltada para cima e o ponto crítico (–1/10, 0) é um mínimo. C) O valor de temperatura mínimo é então:
T(–1/10, 0) = 10/100 – 2/10 = –1/10

Answer 2

Por favor, a Resolução de Duarte está correta????

Também estou precisando dessa questão. Obrigada!