Question

Uma caixa termicamente isolada é dividida por uma parede entre dois compartimentos, cada um com volume V. Inicialmente, um dos compartimentos contém n mols de um gás ideal a uma temperatura T, e no outro compartimento foi feito vácuo. A seguir, quebramos a parede e o gás se expande, preenchendo completamente os dois compartimentos da caixa. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:

I- A variação de entropia é zero, pois se trata de um processo adiabático.
II- O processo é adiabático, mas não é isentrópico, portanto, há variação de entropia.
III- Não é possível calcular a entropia do sistema.
IV- A entropia do sistema para 1 mol é de 5,26 J/K.

Answer 1

I. Sentença falsa e II. Sentença verdadeira.  O processo é adiabático mas não é isentrópico, ou seja, há variação de entropia. Isso acontece pois as moléculas do gás ficam distribuídas mais aleatoriamente após a expansão.

III. Sentença falsa. Não é possível calcular a variação de entropia do processo de forma direta pois este processo é irreversível. Todavia, como a entropia S é uma propriedade de estado, pode-se utilizar um processo reversível que possua os mesmos estados inicial e final para calcular a variação de entropia do processo irreversível indiretamente, como realizado a seguir na próxima sentença.

IV. Sentença falsa.  A variação de entropia do sistema é 5,76 J/K, como calculado abaixo:

O processo é chamado de expansão livre, no qual não há realização de trabalho ($W$) e nem troca de calor ($Q$). Assim, da 1ªLei da termodinâmica, tem-se

$\Delta U = Q-W = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$        

Para este processo, o valor do trabalho pode ser calculado por:

$W = \int PdV \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

Sendo o gás ideal, sabe-se que

$PV=nRT\\P = \frac{nRT}{V} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$

Substituindo (3) em (2) e resolvendo a integral:

$W = \int \frac{nRT}{V}dV = nRT\int \frac{dV}{V} = nRTln\frac{Vf}{Vi} = nRTln\frac{2V}{V} = nRTln(2) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$

Da equação (1), sabe-se que $Q=W$. Portanto, utilizando (4), conclui-se que:

$Q = nRTln(2) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$

Para um gás ideal, a energia interna é função direta apenas da temperatura. Logo, como $\Delta U = 0$, tem-se $\Delta T= 0$. Para calcular a variação de entropia ($\Delta S$), deve-se notar que o processo dado é irreversível. Assim, considere um processo reversível isotérmico com mesmos estados inicial e final. Como a entropia $S$ é propriedade de estado, o valor de $\Delta S$ do processo irreversível dado é igual ao $\Delta S$ do processo reversível isotérmico suposto, que pode ser calculado por:

$\Delta S = \int \frac{dQ}{T} = \frac{1}{T}\int = \frac{Q}{T} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$

Utilizando (5) em (6) obtém-se:

$\Delta S = \frac{nRTln(2)}{T} \\ \\\Delta S = nRln(2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)$

Considerando 1 mol de gás e sendo a constante universal dos gases $R = 8,314 \ (J/K*mol)$, obtém-se:

$\Delta S = nRln(2) = 1*8,314*ln(2) = 5,76 \ (J/K)$

Bons estudos!! Espero ter ajudado.