Question

Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m212m2 de papelão. Quais são as dimensões dessa caixa para que seu volume seja máximo?.

Answer 1

Para o maior volume possível com 12 m² de papelão teremos 2 [m] na aresta da base e 1 [m] de altura.

Para realizar este exercício vamos utilizar uma desigualdade de médias.

Modelando o problema

Vamos inicialmente chamar a aresta do quadrado da face inferior de x. Vamos também chamar a altura desta caixa de y. Temos, portanto, 4 faces laterais de área xy e 1 face inferior de área x².

Otimização de volume e desiguladade de médias

Sendo assim, sabemos pela desigualdade de médias MA ≥ MG que:

(2xy + 2xy + x²) / 3 ≥ ∛4(x²y)²

Observe porém que 2xy + 2xy + x² é a área total das 5 faces, ou seja:

12 / 3 ≥ ∛4(x²y)²

4 ≥ ∛4(x²y)²

Observe também que x²y é o volume deste cubo, ou seja:

4 ≥ ∛4(V)²

4³ ≥ 4V²

64 / 4 ≥ V²

V² ≤ 16

V ≤ √16

V ≤ 4 [m³]

Volume máximo e dimensões

O maior volume que iremos obter será quando a área for a menor possível, e isto ocorre quando 2xy = 2xy = x², daonde obtemos que:

2xy = x²

Como vimos anteriormente, o volume máximo será 4 m³, ou seja, quando x²y = 4, daonde obtemos que y = 4/x²:

2x * (4/x²) = x²

8x = x⁴

8 = x⁴ / x

x³ = 8

x = 2 [m]

Sendo x = 2 temos que:

x²y = 4

y = 4 / 4

y = 1 [m]

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#SPJ4