Question

Uma caixa de isopor tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo, com arestas de medidas proporcionais a 2, 3 e 4, e ocupa um volume de 192 cm². Ela
será revestida por uma película protetora de plástico. Quantos metros quadrados de plástico serão necessários para revestir essa caixa?

Answer 1

Sejam $x$, $y$ e $z$ as dimensões desta caixa. De acordo com o enunciado, temos

$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}$


Como o volume é igual ao produto das três dimensões, temos que

$xyz=192$


Da proporção inicial, obtemos

$2y=3x\;\Rightarrow\;y=\dfrac{3x}{2}\\ \\ 2z=4x\;\Rightarrow\;z=\dfrac{4x}{2}\;\Rightarrow\;z=2x$


Substituindo na expressão do volume, temos

$xyz=192\\ \\ x \cdot \left(\dfrac{3x}{\diagup\!\!\!\! 2} \right )\cdot \left(\diagup\!\!\!\! 2x \right)=192\\ \\ 3x^{3}=192\\ \\ x^{3}=\dfrac{192}{3}\\ \\ x^{3}=64\\ \\ x=\sqrt[3]{64}\\ \\ x=4\text{ cm}$


Substituindo $x$ encontramos as medidas das outras dimensões:

$y=\dfrac{3x}{2}\\ \\ y=\dfrac{3\cdot 4}{2}\\ \\ y=6\text{ cm}\\ \\ \\ z=2x\\ \\ z=2\cdot 4\\ \\ z=8\text{ cm}$


A área total da superfície do paralelepípedo é dada por

$A_{\text{total}}=2\cdot\left(xy+xz+yz \right )\\ \\ A_{\text{total}}=2\cdot\left(4\cdot 6+4\cdot 8+6\cdot 8 \right )\\ \\ A_{\text{total}}=2\cdot\left(24+32+48 \right )\\ \\ A_{\text{total}}=2\cdot 104\\ \\ A_{\text{total}}=208\text{ cm}^2$