Question

Uma caixa contém vários sólidos geométricos convexos. Todos estes sólidos foram mapeados em uma matriz S, na qual cada elemento Sij representa o número de sólidos do tipo i que j arestas em sua base
Sua=[0 0 2 3 4]
[0 0 3 2 1]
Se i=1 representam os sólidos prismáticos e i=2 representam os sólidos piramidais, determine o total de aresta contidas nesta caixa.
A) 144. B) 120 C) 126. D) 132. E) 158

Answer 1

Olá.

 

Essa questão envolve o conhecimentos de matrizes e de geometria plana.

 

Inicialmente, convém conhecer a matriz. Uma Matriz Sij tem:

 

i: representando as linhas;

j: representando as colunas.

 

Representando o modelo de uma matriz, temos:

 

$S=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}\end{bmatrix}$

 

Com essa representação, podemos ter mais certeza quanto ao funcionamento de uma matriz e a quantidade de arestas, podendo identificar melhor os termos.

 

A matriz dada pelo enunciado é:

 

$S=\begin{bmatrix} 0&0&2&3&4\\ 0&0&3&2&1 \end{bmatrix}$

 

A primeira linha dessa matriz representa os sólidos prismáticos e a segunda linha os piramidais.

 

Para melhor pensar nessa questão, sugiro que desenhe um prisma. O prisma consiste em uma figura 3D que tem suas arestas entre os vértices definidas por:

- n arestas para a base;

- n arestas para o topo;

- n arestas entre o topo e a base

 

Somando todos os n, temos 3n. Com isso, podemos definir que a quantidade de arestas de um prisma qualquer é 3 vezes igual a sua base. Com isso, a quantidade total de arestas para cada termo será o produto entre 3n e a quantidade de sólidos. Teremos:

 

$\left\{\begin{matrix} a_{13}&=&3\cdot3\cdot2&=&18\\ a_{14}&=&3\cdot4\cdot3&=&36\\ a_{15}&=&3\cdot5\cdot4&=&60 \end{matrix}\right.$

 

No caso dos sólidos piramidais, sugiro que desenhe uma pirâmide. É possível observar que a mesma quantidade de arestas da base se repete até o vértice do topo, já que tem de se encontrar nele. Com isso, podemos dizer que a quantidade de arestas de uma pirâmide é 2n, duas vez o valor de sua base. Calculando, como no último caso, teremos:

 

$\left\{\begin{matrix} a_{23}&=&2\cdot3\cdot3&=&18\\ a_{24}&=&2\cdot4\cdot2&=&16\\ a_{25}&=&2\cdot5\cdot1&=&10 \end{matrix}\right.$

 

Somando todas as quantidades de arestas, teremos:

 

$\mathsf{T=18+36+60+18+16+10}\\\\ \mathsf{T=54+78+26}\\\\ \mathsf{T=54+104}\\\\ \boxed{\mathsf{T=158}}$

 

Com base nisso, podemos afirmar que a resposta correta está na alternativa E.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$