Question

uma brincadeira muito comum entre os jovens klingons, naturais do planeta Kronos (Qo'noS em sua língua), consiste em encontrar o número de algarismos de grandes números. Dois klingons decidiram encontrar o número de algarismos ao escreverem os números 2^1.999 e 5^1.999 lado a lado. O numero de algarismos escritos é igual a (utilize log2=0,3010):

a) 1.999.
b) 2.000.
c) 2.001.
d) 3.998.
e) 3.999.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, MariaLuíza, que a resolução é simples.

i) Pede-se para encontrar o número de algarismos dos seguintes números (somando-se o número de algarismos dos dois números):

2¹⁹⁹⁹ e 5¹⁹⁹⁹

Veja: basta que apliquemos logaritmo (base 10) a cada um dos números.
Então vamos fazer isso:

log(2)¹⁹⁹⁹ ---- passando o expoente multiplicando, temos:
log (2)¹⁹⁹⁹ = 1.999*(log (2) ------como foi dado que considerasse log (2) = 0,3010, então teremos:

1.999*0,3010 = 601,7 <--- Este é o valor (bem aproximado) de log (2)¹⁹⁹⁹.

Agora note uma coisa: o número de algarismos de um número N, a partir do valor do seu logaritmo, será uma unidade a mais do que a característica do logaritmo encontrado (a característica é a parte que vem antes da vírgula). Por exemplo: log (2) = 0,3010 . Note que a característica é "0". Somando-se uma unidade teremos: 0+1 = 1 <--- Este é o número de algarismos do número cujo logaritmo é "0,3010". E esse número é o "2" que, realmente, tem "1" algarismo.
Vamos a outro exemplo: o log (4.500) = 3,6532 <--- Este é o valor do logaritmo de "4.500". Então o número de algarismo do número cujo logaritmo é 3,6532 será de: 3+1 = 4 . E note que o número 4.500 tem, realmente, 4 algarismos.
Bem, dito isso, então a quantidade de algarismos do número 2¹⁹⁹⁹, como o seu logaritmo deu 601,7, então a quantidade de algarismos desse número será de (característica + 1 unidade):

601+1 = 602 algarismos . (I)

ii) Agora vamos para a quantidade de algarismos do outro número, que é:

5¹⁹⁹⁹ ---- aplicando logaritmo (base 10), teremos:

log (5)¹⁹⁹⁹  ----- passando o expoente multiplicando, temos:
1.999*log (5) ----- veja que 5 = 10/2. Então:

1.999*log (5) = 1.999*log(10/2) ---- transformando a divisão em subtração:

1.999*log(10/2) = 1.999*[log(10) - log(2)]

Agora veja que log (10) = 1 (pois a base é 10) e log (2) = 0,3010 (que já foi dado. Assim:

1.999*[log(10) - log(2)] = 1.999*[1 - 0,3010] ---- como 1-0,3010 = 0,699, temos:

1.999*0,699 = 1.397,30 <--- Este é valor de log(5)¹⁹⁹⁹.

Assim, a quantidade de algarismos do número cujo logaritmo é 1.397,30 é (característica + 1 unidade):

1.397+1 = 1.398 algarismos.

iii) Agora vamos somar essas duas quantidades de algarismos e teremos a quantidade de algarismos desses dois números. Assim:

602 + 1.398 = 2.000 algarismos <--- Esta é a resposta. Opção "b". Ou seja: se somarmos a quantidade de algarismos do número 2¹⁹⁹⁹ e do número 5¹⁹⁹⁹ vamos encontrar 2.000 algarismos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.