Question

Uma bomba para despoluição de lagoas retira 20% da poluição da lagoa por hora. Após ligada, quanto tempo essa bomba levará para que a quantidade de poluentes na lagoa seja 1% da quantidade inicial?


(Se necessário use que log(2)=0,3)
Escolha uma:
a. 30 horas
b. 15 horas
c. 20 horas
d. 25 horas
e. 10 horas

Answer 1

Utilizando conceitos de função exponenecial e propriedades logaritmicas, temos que para chegarmos a 1% de poluição, temos que esperar 20 horas. Letra c.

Explicação passo-a-passo:

Então temos que esta bomba faz com que a poluição do lago reduza em 20% a cada hora, ou seja, ela faz com que a poluição fique 80% ou 0,80 do valor anterior.

Com isso podemos montar uma função poluição P do lago:

$P(t)=P_0.(0,80)^t$

Onde P0 é a poluição inicial. E a cada hora t ele aplica novamente 80% do valor anterior, tendo assim nossa função exponencial.

Agora queremos saber quando esta poluição será igual a 1% de P0, ou seja, 0,01.P0, então para isso basta substituirmos:

$0,01P_0=P_0.(0,80)^t$

Cortando P0 dos dois lados:

$0,01=(0,80)^t$

Agora aplicando logaritmo na base 10 dos dois lados:

$log(0,01)=log((0,80)^t)$

Sabemos que logaritmos transformam expoentes em multiplicadores, logo:

$log(0,01)=log((0,80)^t)$

$log(10^{-2})=log((0,80)^t)$

$-2.log(10)=t.log(0,80)$

$-2.1=t.log(8.10^{-1})$

$-2=t.log(8.10^{-1})$

E sabemos que logaritmos transformam multiplicações em soma:

$-2=t.log(8.10^{-1})$

$-2=t.(log(8)+log(10^{-1}))$

$-2=t.(log(2^3)+log(10^{-1}))$

$-2=t.(3.log(2)-1.log(10))$

$-2=t.(3.0,3-1.1)$

$-2=t.(0,9-1)$

$-2=-0,1t$

$t=20$

Assim temos que para chegarmos a 1% de poluição, temos que esperar 20 horas. Letra c.