Uma bola é lançada ao ar. Suponha que a sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h=-t²+4t+5. Determine. a)o instante em que a bola atinge a sua alguma máxima. b)a altura maxima atingida pela bola c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo
Soluções para a tarefa
A altura da bola é dada em função de t através da função h(t) = -t² + 4t + 5.
Essa função é de segundo grau, portanto sua curva é um arco de parábola, ou seja, a trajetória da bola será um arco de parábola.
O vértice dessa parábola, ou seja, o ponto máximo dela será o ponto em que a bola atinge sua altura máxima.
Podemos recorrer às coordenadas conhecidas do vértice da parábola para responder aos itens a) e b). A abscissa do vértice da parábola, ou seja, a coordenada x desse ponto será o instante em que a bola atinge a altura máxima. Por outro lado, a ordenada desse ponto, ou seja, a coordenada y do ponto será o valor da altura máxima.
O vértice da parábola é o ponto de coordenadas (-b/2a; -Δ/4a).
Temos:
-b/2a = -4/2.(-1) = -4/-2 = 2
-Δ/4a = -(b² - 4ac)/4a = -[4² - 4.(-1).5]/4.(-1) = -(16 + 20)/-4 = -36/-4 = 9
Logo, o ponto máximo dessa parábola é o ponto (2, 9).
Podemos afirmar que:
a)
O instante em que a bola atinge a altura máxima é t = 2 s.
b)
A altura máxima atingida pela bola é 9 metros.
Outra maneira de encontrar esse ponto máximo seria derivar a função h(t) e igualar a derivada a zero. Fazendo isso, encontraríamos a abscissa do ponto máximo:
h(t) = -t² + 4t + 5
h'(t) = 0
-2t + 4 = 0
-2t = -4
t = 2
Substituindo na função h(t) = -t² + 4t + 5:
h(2) = -2² + 4.2 + 5
h(2) = -4 + 8 + 5
h(2) = 9
Encontramos novamente o ponto (2, 9), que é a resposta que já vimos ali em cima. De qualquer forma, itens a) e b) respondidos.
Em relação ao item c), ele está perguntando quantos segundos depois do lançamento a bola toca o solo, ou seja, precisamos descobrir os instantes de tempo em que a bola está no solo (h = 0).
Temos:
h(t) = -t² + 4t + 5
0 = -t² + 4t + 5
Podemos resolver essa equação fatorando ela:
0 = -t² + 4t + 5
0 = t² - 4t - 5
0 = (t + 1)(t - 5)
t + 1 = 0 => t = -1
ou
t - 5 = 0 => t = 5
Ou utilizando a fórmula de Bhaskara:
0 = -t² + 4t + 5
Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4.(-1).5
Δ = 16 + 20
Δ = 36
t = (-b ± √Δ)/2a
t = (-4 ± √36)/2.(-1)
t = (-4 ± 6)/-2
t1 = (-4 + 6)/-2 = -1
t2 = (-4 - 6)/-2 = 5
Independentemente do modo que você utilizar para resolver essa equação de segundo grau, chegamos ao seguinte resultado: t = -1 ou t = 5. Assumindo que t ≥ 0, o único resultado possível é t = 5 s, pois não trabalhamos com instantes de tempo negativos.
Logo:
c)
A bola toca o solo 5 segundos após o lançamento, considerando que o lançamento foi feito no instante t = 0.
Olá, tudo bem?
Para se descobrir o máximo ou o mínimo calculam-se os zeros da derivada:
derivada de h
h' = - 2t + 4
Zeros da derivada:
-2t + 4 = 0 <=>
-2t = -4 <=> t = 2
No instante t = 2s atinge-se a altura máxima.
A que altura corresponde?
b) Substitui-se o valor 2 na equação h
-2² + 4x2 + 6 = 4 + 8 + 6 = 18 metros de altura
c) Quando é que ela toca no solo?
Solo = 0 metros de altura
Quando é que h = 0 é a aquilo que queremos descobrir:
h = -t² + 4t + 6
a = -1
b = 4
c = 6
Aplica Bashkara (em Portugal usa-se a fórmula resolvente) e obterá a seguinte solução:
t = 5,1622 ou t = -1,162
Não há tempos negativos logo a resposta é aproximadamente 5,2
R: 5,2 segundos depois a bola toca no solo.
Bons Estudos ^-^