Question

Uma bola de vôlei impelida verticalmente para cima, a partir de um ponto próximo do chão, passa pela altura da rede 0,3 s depois, subindo, e volta a passar por ela, descendo, 1,7 s depois do arremesso. (a) Qual é a velocidade inicial da bola? (b) Até que altura máxima ela sobe? (c) Qual é a altura da rede?

Answer 1

Resposta:

A bola é impelida verticalmente para cima, a partir de uma altura próxima do chão $(y_0 = 0)$. Sua posição, em função do tempo, é dada por:

$y(t) = v_0t - \frac{1}{2}gt^2.$

a) Chamemos a altura da rede de $z$.

Sabemos que a bola passa por $z$ quando $t = 0,3\,\,s.$ Assim:

$z = v_0\cdot0,3 - \frac{1}{2}\cdot g\cdot 0,3^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)$

Sabemos ainda que ela volta a passar por $z$ quando $t = 1,7\,\,s.$ Logo:

$z = v_0\cdot1,7 - \frac{1}{2}\cdot g\cdot 1,7^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II)$

Igualando $(I)$ a $(II)$, temos:

$v_0\cdot0,3 - \frac{1}{2}\cdot g\cdot 0,3^2 = v_0\cdot1,7 - \frac{1}{2}\cdot g\cdot 1,7^2\\\\\Longleftrightarrow v_0(1,7 - 0,3) = \frac{1}{2}g \left(1,7^2 - 0,3^2 \right)\\\\\Longleftrightarrow v_0 = \frac{1}{2}\cdot g \cdot \frac{(1,7 - 0,3)(1,7 + 0,3)}{1,7 - 0,3}\\\\\Longleftrightarrow v_0 = \frac{1}{2}\cdot g \cdot (1,7 + 0,3)\\\\\Longleftrightarrow v_0 = \frac{1}{2}\cdot g \cdot 2\\\\\Longleftrightarrow v_0 = g$

$\Longleftrightarrow \boxed{v_0 = 9,81\,\,m/s.}$

b) A velocidade da bola, em função do tempo, é dada por:

$v(t) = v_0 + at\\\\\Longleftrightarrow v(t) = g - gt\\\\\Longleftrightarrow v(t) = g(1 - t)$

Sabemos que sua velocidade é nula ao atingir a altura máxima. Assim:

$0 = g(1 - t)\\\\\Longleftrightarrow 1 - t = 0\\\\\Longleftrightarrow t = 1\,\,s.$

Substituindo este valor de $t$ na função horária da posição da bola, temos:

$y = v_0\cdot 1 - \frac{1}{2}\cdot g \cdot 1^2 \\\\\Longleftrightarrow y = g - \frac{1}{2}g\\\\\Longleftrightarrow y = \frac{1}{2}g\\\\\Longleftrightarrow \boxed{y = 4,91\,\,m.}$

c) A partir da equação $(I)$, temos:

$z = v_0\cdot0,3 - \frac{1}{2}\cdot g\cdot 0,3^2\\\\\Longleftrightarrow z = 0,3g - \frac{1}{2}\cdot g\cdot 0,3^2\\\\\Longleftrightarrow z = 0,3g \left(1 - \frac{0,3}{2} \right) \\\\\Longleftrightarrow z = 0,255g\\\\\Longleftrightarrow \boxed{z = 2,50\,\,m.}$