Question

Uma bola de bilhar, inicialmente em repouso em um ponto P, situado na borda de uma mesa de bilhar com formato circular, recebe uma tacada e se desloca em um movimento retilíneo. A bola atinge a borda no ponto R e é refletida elasticamente, sem deslizar. Chame de Q o ponto da borda diametralmente oposto a P e de θ a medida do ângulo Q^ PR.a) Para qual valor de θ, após a primeira reflexão, a trajetória da bola será paralela ao diâmetro PQ?b) Para qual valor de θ, após a primeira reflexão, a trajetória da bola será perpendicular a PQ?c) Supondo agora que 30° < θ < 60°, encontre uma expressão, em função de θ, para a medida α do ângulo agudo formado pela reta que contém P e Q e pela reta que contém a trajetória da bola após a primeira reflexão na borda.

Answer 1

a) Já que a bola é refletida de modo elástico, sem deslizar, teremos: PRO ≈ SRO = γ, sendo O o centro da mesa.

O triângulo POR é do tipo isósceles e, assim, γ = θ.
Sendo RS↔ // PQ↔ resulta em SRO ≈ ROP = γ

Podemos determinar que no triângulo POR, teremos θ + γ + γ = 180° ⇔
⇔ 3θ = 180° ⇔ θ = 60°

É importante ressaltar que para θ = 0°, após a primeira reflexão, o trajeto será paralelo ao diâmetro PQ.


b) No triângulo retângulo PRH, teremos:
θ + 2γ = 90° ⇔ 3θ = 90° ⇔ θ = 30°, porque γ = θ


c) Consideramos T o ponto de intersecção da reta PQ↔ e também da reta que compreende o trajeto da bola após a primeira reflexão.

No triângulo PRT, teremos:
α + 3θ = 180° ⇒ α = 180° - 3θ, para 30° < θ < 60°