Question

Uma bateria de 50 pilhas, cada uma das quais de fem 2,3V e resistência interna de 0,1 ohm deve ser carregada numa fonte de corrente contínua de 210V e resistência interna desprezível.
A corrente máxima que pode circular no sistema é 6A.
Qual é a resistência extra que deve ser inserida no circuito?

Answer 1

$Boa \ tarde, \ \bold{Nabouvier}.$

$Em \ um \ circuito \ com \ v\'arios \ elementos, \ temos \ as \ seguintes \\ considera\c{c}\~oes : \\ \\ \rightarrow \ Vamos \ considerar \ todos \ os \ geradores \ existentes \ por : \\ \ \ \boxed{\sum^n_{i \ = \ 1} \ E_i} \ \Rightarrow \ A \ soma \ de \ todas \ as \ Fem's \ at\'e \ o \ gerador \ 'n', \ n \ \in \ \mathbb{N}; \\ \\ (ou \ seja, \ se \ temos \ n \ = \ 4 \ geradores, \ fazemos \ E_1 \ + E_2 + E_3 + E_4).$

$\rightarrow \ Analogamente, \ para \ todos \ os \ receptores : \\ \\ \boxed{\sum^n_{i \ = \ 1} \ E'_i} \ \rightarrow \ Somamos \ todos \ os \ receptores \ desta \ forma;$

$\rightarrow \ Consideraremos \ tamb\'em \ todos \ os \ resistores \ internos : \\ \\ \boxed{\sum_{i \ = \ 1}^n \ r_i} \ para \ considerarmos \ todos \ os \ resistores \ internos, \ desde \\ i \ = \ 1 \ at\'e \ n.$

$Por \ fim, \ para \ a \ resist\^encia \ externa \ do \ circuito, \ fazemos \ Req_{(c)}, \\ que \ \'e \ a \ tradicional \ resist\^encia \ equivalente \ \bold{externa} \ do \ circuito \\ e \ depende \ de \ sua \ configura\c{c}\~ao.$

$Mas \ cuidado! \ Deve-se \ sempre \ simplificar \ poss\'iveis \ geradores$$em \ s\'erie.$

$Com \ estas \ devidas \ considera\c{c}\~oes, \ podemos \ achar \ facilmente \ a \\ \bold{corrente \ do \ circuito \ (i_t).}$

$\'E \ a \ Lei \ de \ Ohm-Pouillet \ \Rightarrow \\ \\ i_t \ = \ \dfrac{\Big(\sum_{i \ = \ 1}^n \ E_i\Big) \ - \ \Big(\sum_{i \ = \ 1}^n \ E'_i\Big)}{\Big( \sum_{i \ = \ 1}^n \ r_n \Big) + \ Req_{(c)}}$

$Para \ o \ circuito \ do \ enunciado \ \Rightarrow$

$Somat\'orio \ de \ geradores \ \longrightarrow \\ \\ Temos \ apenas \ a \ fonte \ E_1 \ = \ 210 \ V. \ Logo, \ sendo \ apenas \ um \\ elemento, \ i \ = \ n \ = \ 1 \ e \ a \ soma \ fica : \\ \\ \sum_{i \ = \ 1}^1 E_i \ \Rightarrow \ E_1 \ = \ \boxed{210 \ V}$

$Somat\'orio \ de \ receptores \ \longrightarrow \\ \\ Temos \ 50 \ pilhas \ \serem \ carregadas \ (receptoras) . \\ Ou \ seja, \ desde \ E'_1 \ at\'e \ E'_{50} \ (n \ = \ 50): \\ \\ \sum_{i \ = \ 1}^{50} \ E_i \ \Rightarrow \ E_1 \ + \ E_2 \ + \ (\ \dots \ ) \ + \ E_{49} \ + \ E_{50} \\ \\ Mas \ todas \ as \ pilhas \ s\~ao \ iguais, \ de \ E_x \ = \ 2,3 \ V \\ ( E_1 \ = \ E_2 \ = \ (\ \dots \ ) \ = \ E_{49} \ = \ E_{50} \ = \ 2,3 \ V). \\ \\ Ou \ seja, \ podemos \ simplificar :$

$\sum_{i \ = \ 1}^{50} \ E_i \ \Rightarrow \ 50 \ \cdot \ 2,3 \ = \ \boxed{115 \ V}$

$Somat\'orio \ de \ resistores \ internos \ \longrightarrow \\ \\ Analogamente \ ao \ somat\'orio \ de \ receptores, \ todas \ as \ res. \ internas \\ s\~ao \ iguais \ e \ de \ r_x \ = \ 0,1 \ \Omega. \\ \\ \sum_{i \ = \ 1}^{50} r_i \ \Rightarrow \ 50 \ \cdot \ 0,1 \ = \ \boxed{5 \ \Omega}$

$Vamos \ considerar \ a \ i_{t_{(max)}} \ = \ 6 \ A. \\ \\ Para \ isso, \ temos \ a \ Req_{(c)_{(min)}}, \ resist\^encia \ equivalente \ externa \\ m\'inima \ a \ ser \ inserida \ no \ circuito.$

$6 \ = \ \frac{210 \ - \ 115}{5 \ + \ Req_{(c)_{(min)}}} \ \rightarrow \\ \\ 5 \ + \ Req_{(c)_{(min)}} \ = \ \frac{95}{6} \ \rightarrow \\ \\ Req_{(c)_{(min)}} \ = \ \frac{95}{6} \ - \ 5 \ \rightarrow \\ \\ Req_{(c)_{(min)}} \ = \ \frac{95 \ - \ 6 \ \cdot \ 5}{6} \ \rightarrow \\ \\ Req_{(c)_{(min)}} \ = \ \frac{95 \ - \ 30}{6} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{Req_{(c)_{(min)}} \ = \ \Bigg(\frac{65}{6}\Bigg) \ \Omega \ (\approx \ 10,8 \ \Omega)}} \ \Rightarrow$

$\bold{ \ Resist\^encia \ equivalente \ externa \ a \ ser \ adicionada!}$

Answer 2

A resistência extra que deve ser inserida no circuito é de 10,83 ohms.

A bateria é formada por 50 pilhas com 2,3 V de ddp entre os terminais de cada mais uma resistência interna de 0,1 ohm, logo, a ligação em série dessas pilhas gera um equivalente de 115 V com 5 ohms de resistência interna.

Sabendo que a corrente máxima no circuito deve ser de 6 A e que a queda de tensão nas pilhas é de 115 V, temos, pela lei de Kirschhoff para tensões que:

210 - 115 = (R + 5).6

95 = 6.R + 30

65 = 6.R

R = 65/6

R = 10,83 ohms

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