Question

Uma barrra de cobre tem 2000mm de comprimento a -13°C determine a que temperatura seu comprimento será de 506,8 cm

Answer 1

A barra de cobre precisa estar a uma temperatura de aproximadamente 90 751,70 °C.

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Cálculo

A dilatação linear (variação de comprimento) é proporcional ao produto do comprimento inicial pelo coeficiente de dilatação linear pela variação de temperatura, tal como a equação I abaixo:

$\quad \LARGE {\boxed{\boxed{\begin{array}{lcr} \\\ {\sf \Delta L = L_0 \cdot \Huge \alpha\cdot \LARGE \sf \Delta T } ~\\\ \end{array}}}} \Large ~ ~ ~ \textsf{(equac{\!\!,}{\~a}o I)}$

$\large \textsf{Onde:}$

$\large \sf \Delta L \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ do ~ comprimento ~(em ~ m)$

$\large \sf L_0 \Rightarrow comprimento ~ inicial ~ (em ~ m)$

$\sf \Large \alpha~\large \sf \Rightarrow coeficiente ~de ~ dilatac{\!\!,}\tilde{a}o ~ linear ~ (em ~ ^\circ C^\textsf{-1})$

$\large \sf \Delta T \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ de ~ temperatura ~ (em ~^\circ C)$

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Aplicação

Sabe-se, conforme o enunciado:

$\LARGE \sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta L = L_{final} - L_{inicial} =\textsf{508,6 cm} - \textsf{200 cm} = \textsf{308,6 cm} \\\sf L_0 = \textsf{2000 mm} = 200~ cm \\\sf \Huge \alpha = \LARGE \textsf{17} \cdot \textsf{10}^\textsf{-6 } {^\circ C}^\textsf{-1} \\\sf \Delta T = T_{final} - T_{inicial} = T_{final} - (-13) = T_{final} + 13\; ^\circ C \\ \end{cases}$

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Assim, tem-se que:

$\Large \sf \textsf{308,6} \left[cm\right] = 200 \left[cm\right] \cdot 17 \cdot 10^\textsf{-6} \left[^\circ C^\textsf{-1}\right] \cdot \left(T_{final} + 13\right) \left[^\circ C\right]$

$\Large \sf \textsf{308,6} \left[cm\right] = 3400 \cdot 10^\textsf{-6} \left[\dfrac{cm}{\!~^\circ C~}\right] \cdot \left(T_{final} + 13\right) \left[^\circ C\right]$$\Large \text{ \sf \left(T_{final} + 13\right) \left[^\circ C\right] =\dfrac{\textsf{308,6} \left[cm\right]}{ 3400 \cdot 10^\textsf{-6} \left[\dfrac{cm}{\!~^\circ C~}\right]} }$

$\Large \text{ \sf \left(T_{final} + 13\right) \left[^\circ C\right] =\dfrac{\textsf{3086} \cdot 10^\textsf{-1}\left[cm\right]}{ 3400 \cdot 10^\textsf{-6} \left[\dfrac{cm}{\!~^\circ C~}\right]} }$

$\Large \sf \left(T_{final} + 13\right) \left[^\circ C\right] =\dfrac{1543000}{17} \left[^\circ C\right]$$\boxed {\boxed {\Large \sf T_{final} = \dfrac{1542779}{17} \left[^\circ C\right]}} ~\Large \sf ou ~ \boxed {\boxed {\Large \sf T_{final} \approx \textsf{90 751,70} \left[^\circ C\right]}}$

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