Uma barra de aço tem comprimento de 2m 0°c e um de alumínio te 1.99m na mesma temperatura. Aquecem-se ambas ate que as duas tenha o mesmo comprimento. Qual e a temperatura pera isso ocorra?
Soluções para a tarefa
Temos duas barras descritas no exercício: uma de aço e a outra, de alumínio. A barra de aço tem um comprimento inicial de 2 metros a uma temperatura inicial 0 ºC. A barra de alumínio tem um comprimento inicial de 1,99 metro a uma temperatura inicial de 0 ºC. O coeficiente de dilatação linear do aço é 1,2×10⁻⁵ ºC⁻¹. O coeficiente de dilatação linear do alumínio é 2,2×10⁻⁵ ºC⁻¹. Vamos anotar esses dados separadamente:
L₀ = comprimento inicial do aço = 2 m
L₀ = comprimento inicial do alumínio = 1,99 m
α₁ = coeficiente de dilatação linear do aço = 1,2×10⁻⁵ ºC⁻¹
α₂ = coeficiente de dilatação linear do alumínio = 2,2×10⁻⁵ ºC⁻¹
T₀ = temperatura inicial = 0 ºC
T = temperatura final = (?????)
L = comprimento final = (????)
O exercício quer saber a que temperatura elas terão o mesmo comprimento final. Para que elas tenham o mesmo comprimento, o comprimento final (L) da barra de aço tem de ser exatamente igual ao da barra de alumínio. Temos as duas fórmulas da dilatação linear:
ΔL = L₀×α×ΔT
L - L₀ = L₀×α×(T - T₀)
Primeiro vamos substituir os dados que temos disponível na fórmula da dilatação linear.
Barra de aço:
L₁ - L₀ = L₀×α₁×(T - T₀)
L₁ - 2,0 = 2,0×(1,2×10⁻⁵)×(T - 0)
L₁ - 2,0 = 2,4×10⁻⁵×T
L₁ = 2,4×10⁻⁵×T + 2,0
Barra de alumínio:
L₂ - L₀ = L₀×α₂×(T - T₀)
L₂ - 1,99 = 1,99×2,2×10⁻⁵×(T - 0)
L₂ - 1,99 = 4,378×10⁻⁵×T
L₂ = 4,378×10⁻⁵×T + 1,99
A barra de aço terá o mesmo comprimento que a barra de alumínio justamente quando as duas tiverem o mesmo comprimento final (L = L). Portanto,
L₁ = L₂
2,4×10⁻⁵×T + 2,0 = 4,378×10⁻⁵×T + 1,99
2,4×10⁻⁵×T - 4,378×10⁻⁵ = 1,99 - 2,0
- 1,978×10⁻⁵×T = - 0,01 ×(- 1)
1,978×10⁻⁵×T = 0,01
T = 0,01/(1,978×10⁻⁵)
T ≅ 505,56 ºC
As duas barras terão o mesmo comprimento quando forem aquecidas a uma temperatura de aproximadamente 505,56 ºC.
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