Question

Uma árvore foi transplantada e após X anos, cresceu a uma taxa de $1 + \frac{6}{(x+1)³}$ metro por ano. Após 2 anos, alcançou 20/3 metros de altura.

a) qual sua altura quando foi transplantada?

b) quanto essa árvore vai crescer em mais um ano?

Answer 1

Note que a árvore cresceu de 0 a 2 anos, e n sabemos o quanto ela cresceu nesse intervalo de tempo, só sabemos o quanto ela cresceu após os dois anos. Sua taxa de variação é dada por:

$\frac{dh}{dx}=1+\frac{6}{(x+1)^3}$

Para descobrirmos o quanto ela cresceu de 0 a 2 anos, temos que aplicar a integral definida:

$\int\limits^2_0 {1+\frac{6}{(x+1)^3}} \, dx \\ \\ x+6\int\limits^2_0 {\frac{1}{(x+1)^3}} \, dx \\ \\ x+6\int\limits^2_0 {(x+1)^{-3}} \, dx \\ \\ x+6\int\limits^2_0 {\frac{(x+1)^{-3+1}}{-3+1}} \, dx \\ \\ x+6\int\limits^2_0 {\frac{(x+1)^{-2}}{-2}} \, dx \\ \\ x+6\int\limits^2_0 {\frac{\frac{1}{(x+1)^2}}{-2}} \, dx \\ \\ x+6\int\limits^2_0 {\frac{1}{(x+1)^2}.\frac{1}{-2} \, dx$

$x+6\int\limits^2_0 {-\frac{1}{2(x+1)^2}} \, dx \\ \\ x\int\limits^2_0 {-\frac{6}{2(x+1)^2}} \, dx \\ \\ x\int\limits^2_0 {-\frac{3}{(x+1)^2}} \, dx \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}\int\limits^2_0 {x-\frac{3}{(x+1)^2}} \, dx\end{array}\right]$

$({x-\frac{3}{(x+1)^2}})-({x-\frac{3}{(x+1)^2}})=\\ \\ ({2-\frac{3}{(2+1)^2}})-({0-\frac{3}{(0+1)^2}})= \\ \\ ({2-\frac{3}{9}})-({-3)}= \\ \\ ({2-\frac{1}{3}})-({-3)}= \\ \\ \frac{5}{3}+{3}= \\ \\ \frac{5+9}{3}= \\ \\ \frac{14}{3} =4,67m$

Sua altura final era de 20/3 ou 6,67 metros, e sua altura até os 2 anos foi de 4,67 metros, a altura da árvore quando foi trasplantada era de:

$6,67-4,67=2m$

E sua altura um ano a mais, é só fazer a integral definida no intervalo de 0 a 3 e subtrair por 4,67:

$\int\limits^3_0 {1+\frac{6}{(x+1)^3}} \, dx \\ \\ \int\limits^3_0 {x-\frac{3}{(x+1)^2}} \, dx \\ \\ ({x-\frac{3}{(x+1)^2}})-({x-\frac{3}{(x+1)^2}})= \\ \\ ({3-\frac{3}{(3+1)^2}})-({0-\frac{3}{(0+1)^2}})= \\ \\ ({3-\frac{3}{16}})-({-3})= \\ \\ \frac{45}{16}+3= \\ \\ \frac{93}{16} =5,8125m$

$5,8125-4,67=1,1425m$

Answer 2

Considere  h(x)  como sendo a função que fornece a altura da árvore (em metros),  x  anos após ela ter sido plantada.

De acordo com as informações do enunciado, temos que

     •   $\mathsf{\dfrac{d}{dx}\big[h(x)\big]=1+\dfrac{6}{(x+1)^3}}$

     •    $\mathsf{h(2)=\dfrac{20}{3}.}$


Temos então um problema de valor inicial.  Resolvendo a equação diferencial para encontrar a função  h(x):

     $\mathsf{\dfrac{d}{dx}\big[h(x)\big]=1+\dfrac{6}{(x+1)^3}}$


Integre ambos os lados com respeito a  x:

     $\mathsf{\displaystyle\int\frac{d}{dx}\big[h(x)\big]\,dx=\int\!\left[1+\frac{6}{(x+1)^3}\right]\!dx}\\\\\\ \mathsf{h(x)=\displaystyle\int\!\left[1+\frac{6}{(x+1)^3}\right]\!dx}\\\\\\ \mathsf{h(x)=\displaystyle\int\!\left[1+6(x+1)^{-3}\right]\!dx}\\\\\\ \mathsf{h(x)=\displaystyle\int\!1\,dx+6\!\int\!(x+1)^{-3}\,dx}\\\\\\ \mathsf{h(x)=x+6\displaystyle\!\int\!u^{-3}\,du\qquad\quad~~(onde~u=x+1)}$

     $\mathsf{h(x)=x+6\cdot \dfrac{u^{-3+1}}{-3+1}+C}\\\\\\ \mathsf{h(x)=x+6\cdot \dfrac{u^{-2}}{-2}+C}\\\\\\ \mathsf{h(x)=x+\dfrac{6}{-2}\cdot \dfrac{1}{u^2}+C}\\\\\\ \mathsf{h(x)=x-\dfrac{3}{(x+1)^2}+C}$

onde  C  é uma constante a ser determinada.


Aplicando o valor inicial,  temos

     $\mathsf{h(2)=\dfrac{20}{3}}\\\\\\ \mathsf{2-\dfrac{3}{(2+1)^2}+C=\dfrac{20}{3}}\\\\\\ \mathsf{2-\dfrac{3}{3^2}+C=\dfrac{20}{3}}\\\\\\ \mathsf{2-\dfrac{1}{3}+C=\dfrac{20}{3}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{5}{3}+C=\dfrac{20}{3}}$

     $\mathsf{C=\dfrac{20}{3}-\dfrac{5}{3}}\\\\\\ \mathsf{C=\dfrac{15}{3}}\\\\\\ \mathsf{C=5}$


Então, a função  h(x)  é

     $\mathsf{h(x)=x-\dfrac{3}{(x+1)^2}+5}$          ✔

—————

a)  A altura quando a árvore foi plantada era

     $\mathsf{h(0)=0-\dfrac{3}{(0+1)^2}+5}\\\\\\ \mathsf{h(0)=-\dfrac{3}{1^2}+5}\\\\\\ \mathsf{h(0)=-3+5}$

$\mathsf{h(0)=2~~metros.}$          ✔

—————

b)  Assumindo que a taxa de crescimento seja dada pela mesma função, em mais um ano a árvore crescerá

     $\mathsf{h(3)-h(2)}\\\\\\ =\mathsf{\left[3-\dfrac{3}{(3+1)^2}+5\right]-\dfrac{20}{3}}\\\\\\ =\mathsf{3-\dfrac{3}{4^2}+5-\dfrac{20}{3}}\\\\\\ =\mathsf{3-\dfrac{3}{16}+5-\dfrac{20}{3}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{144-9+240-320}{48}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{55}{48}}$


A árvore crescerá mais  $\mathsf{\dfrac{55}{48}}$  m  no ano seguinte.


Bons estudos! :-)