Question

galera me ajude a resolver essas questões de integral definida
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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{6~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta integral, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a integral definida:

$\displaystyle{\int_0^3 \sqrt{3x}\,dx$

Faça uma substituição $u=3x$. Diferenciamos ambos os lados da expressão em respeito à variável $x$:

$u'=(3x)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}\Rightarrow du=3\,dx$

Divida ambos os lados da equação por $3$

$\dfrac{du}{3}=dx$

Devemos também alterar os limites de integração: quando $x\rightarrow0,~u\rightarrow0$ e quando $x\rightarrow3,~u\rightarrow9$. Então, substituímos estes elementos na integral:

$\displaystyle{\int_0^9 \sqrt{u}\cdot\dfrac{du}{3}$

Então, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$  é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da constante e reescreva $\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\int_0^9 u^{\frac{1}{2}}\,du$

Aplique a regra da potência

$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}~\biggr|_0^9$

Some as frações

$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}~\biggr|_0^9$

Calcule a fração de frações

$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}~\biggr|_0^9$

Multiplique as frações

$\dfrac{2u^{\frac{3}{2}}}{9}~\biggr|_0^9$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{2\cdot9^{\frac{3}{2}}}{9}-\dfrac{2\cdot0^{\frac{3}{2}}}{9}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\dfrac{54}{9}$

Simplifique a fração

$6$

Este é o resultado desta integral definida.