Question

Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um lado com uma cerca de três fios e nos outros lados, por uma cerca elétrica com dois fios. Com 1000 m de fio à disposição, determine quais as dimensões da maior área que poderá ser cercada e calcule o valor dessa área

Answer 1

Através dos cálculos realizados, temos que a área que poderá ser cercada é igual a 12500 m²

Áreas e Perímetros

Sejam c o comprimento do retângulo e l a sua largura, temos que:

P = 2c+2l

A = c * l

Temos ainda que:

1 lado - 2 fios

3 lados - 3 fios

fio máximo - 1000 m

$\begin{array}{c}2c\\2l\;\boxed{\begin{array}{l}\qquad\qquad\qquad\qquad\\{}\\{}\end{array}}\;3l\\2c\end{array}\qquad ou\qquad\begin{array}{c}3c\\2l\;\boxed{\begin{array}{l}\qquad\qquad\qquad\qquad\\{}\\{}\end{array}}\;2l\\2c\end{array}$

O comprimento do fio é, assim, dado por:

4c + 5l      ou     5c + 4l

Como as incógnitas apenas representam lados de tamanho diferente, podemos usar qualquer uma destas expressões.

Assim, temos que:

100 0= 4c + 5l

5l = - 4c + 1000

l = - 4c / 5 + 200

Substituindo estes valores na fórmula da área, temos que:

A=c*l

A=c*( - 4c / 5 + 200 )

A=- 4c² / 5 + 200c

Podemos, agora, determinar o máximo desta função, a partir dos zeros da sua 1ª derivada.

Comecemos por derivar a função:

A' = ( - 4c² / 5 )'+( 200c )'

A'= - 8c / 5 + 200

Podemos, agora, determinar os seus zeros:

A' = 0

- 8 c / 5 + 200 = 0

- 8c / 5 = - 200

- 8c = - 1000

c = 125

Como a função A é do tipo y=-ax^2+bx, o zero da sua primeira derivada será um máximo, pelo que podemos usar este valor para determinar a área máxima:

A = - 4c² / 5 + 200c

A = - 4*125² / 5 + 200*125

A= - 4*15625 / 5 + 25000

A= - 62500 / 5 + 25000

A= - 12500 + 25000

A= 12500 m²

Para mais exercícios sobre áreas e perímetros, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/41562963

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