Question

Uma aposta coletiva em certa loteria oferece cotas de participação de cinco valores distintos, representados pelos números naturais k, m, n, p, v, que formam, nessa ordem, uma progressão aritmética crescente. Sendo o produto dos valores dos termos extremos (k, v) igual a R$ 1.300,00 e o resultado da soma dos valores dos três termos centrais (m, n, p) igual a R$ 210,00, o valor representado por p é igual a (A) R$ 100,00. (B) R$ 120,00. (C) R$ 110,00. (D) R$ 90,00. (E) R$ 80,00.

Answer 1

Olá.

Para resolvermos essa questão, podemos demonstrar essa P.A da seguinte forma:

$\mathsf{\left\{k,~m,~n,~p,~v\right\}=\left\{a-2r,~a-r,~a,~a+r,~a+2r\right\}}$

Ciente disso, podemos criar um sistema a partir das operações dadas no enunciado. Teremos:

$\begin{cases} \mathsf{k\cdot v=1.300}\\ \mathsf{m+n+p=210} \end{cases}\therefore \begin{cases} \mathsf{(a-2r)(a+2r)=1.300}\\ \mathsf{(a-r)+a+(a+r)=210} \end{cases}$

Desenvolvendo a segunda equação, teremos:

$\mathsf{(a-r)+a+(a+r)=210}\\\\ \mathsf{3a=210}\\\\ \mathsf{a=210\div3}\\\\ \mathsf{a=70}$

Na primeira equação, podemos usar um produto notável. Teremos:

$\mathsf{(a-2r)(a+2r)=1.300}\\\\ \mathsf{a^2-(2r)^2=1.300}\\\\ \mathsf{a^2-4r^2=1.300}$

Substituindo o valor de a, teremos:

$\mathsf{a^2-4r^2=1.300}\\\\ \mathsf{70^2-4r^2=1.300}\\\\ \mathsf{4.900-4r^2=1.300}\\\\ \mathsf{-4r^2=1.300-4.900}\\\\ \mathsf{-4r^2=-3.600\cdot(-1)}\\\\ \mathsf{r^2=3.600\div4}\\\\ \mathsf{r=\sqrt{900}=30}$

Tendo em mente que o valor de p é a + r, teremos:

$\mathsf{p=a+r=70+30=100}$

A resposta correta está na alternativa A.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos.

Answer 2

Olá.

Para resolvermos essa questão, podemos demonstrar essa P.A da seguinte forma:

$\mathsf{\left\{k,~m,~n,~p,~v\right\}=\left\{a-2r,~a-r,~a,~a+r,~a+2r\right\}}$

Ciente disso, podemos criar um sistema a partir das operações dadas no enunciado. Teremos:

$\begin{cases} \mathsf{k\cdot v=1.300}\\ \mathsf{m+n+p=210} \end{cases}\therefore \begin{cases} \mathsf{(a-2r)(a+2r)=1.300}\\ \mathsf{(a-r)+a+(a+r)=210} \end{cases}$

Desenvolvendo a segunda equação, teremos:

$\mathsf{(a-r)+a+(a+r)=210}\\\\ \mathsf{3a=210}\\\\ \mathsf{a=210\div3}\\\\ \mathsf{a=70}$

Na primeira equação, podemos usar um produto notável. Teremos:

$\mathsf{(a-2r)(a+2r)=1.300}\\\\ \mathsf{a^2-(2r)^2=1.300}\\\\ \mathsf{a^2-4r^2=1.300}$

Substituindo o valor de a, teremos:

$\mathsf{a^2-4r^2=1.300}\\\\ \mathsf{70^2-4r^2=1.300}\\\\ \mathsf{4.900-4r^2=1.300}\\\\ \mathsf{-4r^2=1.300-4.900}\\\\ \mathsf{-4r^2=-3.600\cdot(-1)}\\\\ \mathsf{r^2=3.600\div4}\\\\ \mathsf{r=\sqrt{900}=30}$

Tendo em mente que o valor de p é a + r, teremos:

$\mathsf{p=a+r=70+30=100}$

A resposta correta está na alternativa A.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos.