Uma antena de TV tem 20m de altura e esta fincada no topo de uma pequena colina. Um observador,no terreno plano, avista o topo da antena num angulo de 35°. Aproximando se 50m da base da colina, ele passa a avistar o topo da antena num angulo de 71°.Qual é a altura aproximada da colina? Considere que o observador tem 1,73 m de altura.
Soluções para a tarefa
h : altura observador = 1,73 m
Hc : altura da colina
Hc = H - 20 + h
calcule de H
temos
tg(35) = H/(50 + x)
tg(71) = H/x
50*tg(35) + x*tg(35) = H = x*tg(71)
x*(tg(71) - tg(35)) = 50*tg(35)
x = 50*tg(35)/(tg(71) - tg(35))
H = 50*tg(35)*tg(71)/(tg(71) - tg(35))
tg(35) = 0,70
tg(71) = 2,90
H = 50*0.70*2.90/(2.90 - 0.70) = 46,14
Hc = H - 20 + h
Hc = 46,14 - 20 + 1,73 = 27,87 ≈ 28 m
A altura aproximada da colina é 27,84 m.
Razão trigonométrica tangente
Pela figura formada, nota-se que a altura da colina corresponde à soma da medida x com a altura do observador.
Como são formados triângulos retângulos, em que são conhecidas e procuradas medidas dos catetos opostos e adjacentes, iremos utilizar a relação tangente.
tangente θ = cateto oposto
cateto adjacente
No triângulo retângulo ABC:
tg 35° = AC
BC
0,7 = 20 + x
50 + y
0,7·(50 + y) = 20 + x (I)
No triângulo retângulo ADC:
tg 71° = AC
DC
2,9 = 20 + x
y
20 + x = 2,9y (II)
Substituindo (II) em (I), temos:
0,7·(50 + y) = 2,9y
35 + 0,7y = 2,9y
2,9y - 0,7y = 35
2,2y = 35
y = 35/2,2
y = 15,9 m
20 + x = 2,9y
x = 2,9y - 20
x = 2,9·15,9 - 20
x = 46,11 - 20
x = 26,11 m
Portanto, a altura da colina será:
x + 1,73 = 26,11 + 1,73 = 27,84 m
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