Question

Um vetor v forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados
positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que IIvII=3

Answer 1

O ângulo entre dois vetores u e w é β, tal que:

$\boxed{\boxed{cos~\beta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{||\vec{u}||\cdot||\vec{w}||}}}$
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Ângulo entre v e os eixos: θ

Sejam I, J e K vetores representantes dos eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente:

$\vec{I}=(1,~0,~0)\\\vec{J}=(0,~1,~0)\\\vec{Z}=(0,~0,~1)$
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Como os ângulos entre os vetores v e I, v e J, e v e K são iguais a θ:

$cos~\theta=cos~\theta=cos~\theta\\\\\\\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{I}}{||\vec{v}||\cdot||\vec{I}||}=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{J}}{||\vec{v}||\cdot||\vec{J}||}=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{K}}{||\vec{v}||\cdot||\vec{K}||}\\\\\\\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{I}}{||\vec{I}||}=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{J}}{||\vec{J}||}=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{K}}{||\vec{K}||}\\\\\\\dfrac{(x,~y,~z)\cdot(1,~0,~0)}{||(1,~0,~0)||}=\dfrac{(x,~y,~z)\cdot(0,~1,~0)}{||(0,~1,~0)||}=\dfrac{(x,~y,~z)\cdot(0,~0,~1)}{||(0,~0,~1)||}$

Resolvendo os produtos escalares e achando os módulos:

$\dfrac{x\cdot1+y\cdot0+z\cdot0}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}}=\dfrac{x\cdot0+y\cdot1+z\cdot0}{\sqrt{0^{2}+1^{2}+0^{2}}}=\dfrac{x\cdot0+y\cdot0+z\cdot1}{\sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}}\\\\\\\dfrac{x}{\sqrt{1}}=\dfrac{y}{\sqrt{1}}=\dfrac{z}{\sqrt{1}}\\\\\\\boxed{\boxed{x=y=z}}$
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Como o módulo do vetor é 3:

$||\vec{v}||=3\\||\vec{v}||^{2}=3^{2}\\||\vec{v}||^{2}=9\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$

Como y = z = x:

$x^{2}+x^{2}+x^{2}=9\\3x^{2}=9\\x^{2}=9/3\\x^{2}=3\\x=\pm\sqrt{3}$

Então:

$\boxed{\boxed{\vec{v}=(\sqrt{3},~\sqrt{3},~\sqrt{3})~~~~~ou~~~~\vec{v}=(-\sqrt{3},-\sqrt{3},-\sqrt{3})}}$