Question

Determine p na equação x²-9x+p=0 para que uma das raízes seja a metade da outra.

Answer 1

Raízes: a e (a / 2)
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Substituindo x por a:

$a^{2}-9a+p=0$

Substituindo x por a / 2:

$\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}-9\left(\dfrac{a}{2}\right)+p=0\\\\\\\dfrac{a^{2}}{4}-9\left(\dfrac{a}{2}\right)+p=0~~~~~(\cdot4)\\\\\\a^{2}-9\cdot2a+4p=0\\\\\\a^{2}-18a+4p=0$
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$\begin{cases}a^{2}-9a+p=0\\a^{2}-18a+4p=0\end{cases}$

Como 0 = 0:

$a^{2}-9a+p=a^{2}-18a+4p\\-9a+p=-18a+4p\\-9a+18a=4p-p\\3p=9a\\p=3a\\a=p/3$

Substituindo a por p/3 na primeira equação:

$\left(\dfrac{p}{3}\right)^{2}-9\cdot\dfrac{p}{3}+p=0\\\\\\\dfrac{p^{2}}{9}-3p+p=0\\\\\\\dfrac{p^{2}}{9}-2p=0$

Multiplicando tudo por 9:

$p^{2}-18p=0\\p\cdot(p-18)=0\\\\p=0\\p-18=0~~~\therefore~~~p=18$

Note que p não pode ser zero, pois teríamos:

$x^{2}-9x+p=0\\x^{2}-9x=0$

Que possui raízes 0 e 9, quee não satisfazem a condição de uma raiz ser a metade da outra.

Portanto:

$\boxed{\boxed{p=18}}$