Question

Um veículo desloca-se por um trecho retilíneo de uma estrada. No instante t = 0 s, o veículo desloca-se a 10 m/s
no sentido positivo do eixo y. Nesse instante, ele passa por uma placa na estrada que indica que ele está na
posição y = 12 km em relação a uma referência. A aceleração do veículo é variável com o tempo e definida pela
expressão:
a=0,05+0,01.t [m/s2]

Neste caso, pede-se:
a) Deduza uma equação para a velocidade e uma para a posição do veículo em função do tempo.
b) Em qual momento, a velocidade do veículo atinge seu valor máximo?
c) Qual o valor da velocidade máxima?
d) Qual a posição do veículo quando ele atinge a sua velocidade máxima?

Answer 1

Olá!

Nessa questão temos que o veículo se desloca em função do tempo, e a única fórmula dado foi a da aceleração:

a(t) = 0,05 +0,01t

a) Como a aceleração não  é constante, ela varia de acordo com o tempo, podemos utilizar a Integral para deduzir a fórmula da velocidade.

$V\:=\:\int \:a\left(t\right).dt$

$\int \:0,\:5+0,\:1\cdot \:tdt=\left(0,\:5\right)t+0,\:1\cdot \frac{t^{2}}{2}+C$

Notamos que tem uma constante na nossa fórmula, porém, a questão informa que no tempo t=0, a velocidade é 10 m/s, logo:

$\left(0,\:5\right)\cdot t+0,\:1\cdot \frac{t^2}{2}+C\:=\:10$

$\left(0,\:5\right)\cdot 0+0,\:1\cdot \frac{0^2}{2}+C\:=\:10$

$C\:=\:10$

Portanto, a velocidade é dado pela seguinte fórmula:

$V\left(t\right)\:=\left(0,\:5\right)\cdot \:t+0,\:1\cdot \:\frac{t^2}{2}+10$

b) Para a velocidade atingir o valor máximo, sua derivada tem que ser igual a zero, sabemos que a derivada da velocidade é a aceleração, logo:

$0,\:05\:+\:0,\:01t\:=\:0$

t = -5

Como não existe tempo negativo, vamos considerar a informação como positiva.

c)Para isso, basta apenas substituir o tempo achado no item acima e encontrar a velocidade:

$v_{max} = 1\cdot \frac{5^2}{2}+10=\frac{45}{2} m/s$

d)Precisa integrar a função da velocidade e substituir o valor de t pelo tempo encontrado no item b.

Espero ter ajudado!