Question

Um veículo com velocidade de 100 km/h aproxima-se da base de uma torre de 120 metros de altura, no topo da qual existe uma antena de radiofreqüência. Qual é a velocidade com que o veículo se aproxima dessa antena, quando ele está a 160 metros da base da torre?

Answer 1

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Observe a figura em anexo.


Suponha que o carro esteja sobre o ponto A, se movendo em direção ao ponto C a uma velocidade de 100 km/h.

A antena está no alto da torre, localizada no ponto B.


Pelo Teorema de Pitágoras, temos que

$\mathsf{r^2=x^2+y^2}}$


Mas no nosso exemplo, $\mathsf{x}$ varia em função do tempo, e $\mathsf{y}$ é a altura da torre (constante).


Derivando implicitamente ambos os lados em relação ao tempo, obtemos

$\mathsf{\dfrac{d}{dt}(r^2)=\dfrac{d}{dt}(x^2+y^2)}\\\\\\ \mathsf{2r\cdot \dfrac{dr}{dt}=2x\cdot \dfrac{dx}{dt}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{2x}{2r}\cdot \dfrac{dx}{dt}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{x}{r}\cdot \dfrac{dx}{dt}\qquad\quad(i)}$


Queremos calcular o valor de $\mathsf{\dfrac{dr}{dt}}$ quando

•   $\mathsf{\dfrac{dx}{dt}=-100~km/h}$

(o sinal negativo indica apenas que o comprimento do segmento $\mathsf{\overline{AC}}$ está diminuindo nesse instante);


•   $\mathsf{y=120~m=0,\!120~km;}$


•   A distância do carro até a antena é

$\mathsf{r=\sqrt{x^2+y^2}}\\\\ \mathsf{r=\sqrt{160^2+120^2}~m}\\\\ \mathsf{r=200~m=0,\!200~km}$


Substituindo em $\mathsf{(i)}$, obtemos o valor de $\mathsf{\dfrac{dr}{dt}}$ nesse instante:

$\mathsf{\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{0,\!160}{0,\!200}\cdot (-100)}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dr}{dt}=0,\!800\cdot (-100)}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{\dfrac{dr}{dt}=-80~km/h} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


O sinal negativo apenas indica que a distância $\mathsf{r}$ está diminuindo naquele instante.


Bons estudos! :-)


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