Question

Um triângulo tem lados cujas medidas são proporcionais aos números 5, 12 e 13. Se o perímetro desse triângulo vale 40 cm, então sua área vale:

A
70 sobre 3 cm2



B
80 sobre 3 cm2

C
140 sobre 3 cm2

D
160 sobre 3 cm2

E
320 sobre 3 cm2

Answer 1

$Area = 80\cdot\frac{2}{3}$

O primeiro passo é encontrar a medida dos lados:

O perimetro do triangulo vale 40

Os lados são proporcionais a 5, 12 e 13.

Chame de r a constante de proporcionalidade e calcule:

$5r + 12r + 13r = 40 \arrow (5+12+13)r = 40\arrow 30r=40\arrow r=\frac{4}{3}$

Portanto a constante de proporcionalidade é 4/3.

multiplicando os lados pela fração 4/3 obtemos:

$\frac{20}{3},\frac{48}{3},\frac{52}{3}$

Vamos usar a fórmula de Heron para encontrar a área do triangulo.

A fórmula de Heron permite encontrar a área de um triangulo a partir do valor de seus lados $a,b,c$:

$Area = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ onde $p = \frac{a+b+c}{2}$

Ou seja, $p$ é a metade do perímetro (semiperímetro) que neste caso, vale 20 cm.

Os lados são:

$a=\frac{20}{3},\\\\b=\frac{48}{3},\\\\c=\frac{52}{3}$

A área será:

$Area = \sqrt{20(20-\frac{20}{3})(20-\frac{48}{3})(20-\frac{52}{3})}$

$Area = \sqrt{20(\frac{60}{3}-\frac{20}{3})(\frac{60}{3}-\frac{48}{3})(\frac{60}{3}-\frac{52}{3})}$

$Area = \sqrt{20\cdot(\frac{40}{3})(\frac{12}{3})(\frac{8}{3}})$

$Area = \sqrt{20\cdot\frac{40}{3}\cdot4\cdot\frac{8}{3}}$

$Area = \sqrt{80\cdot\frac{40}{3}\frac{8}{3}}$

$Area = \sqrt{80\cdot\frac{40\cdot8}{9})$

Obs: podemos escrever $40\cdot8$ como $80\cdot 4$ por que $40\cdot8 = 4\cdot10\cdot8 = 80\cdot4$

$Area = \sqrt{80\cdot\frac{80\cdot4}{9})$

$Area = \sqrt{80^2\cdot\frac{4}{9})$

Agora tiramos a raiz:

$Area = 80\cdot\frac{2}{3}$